用于二维非线性时分数扩散波方程的快速线性化紧致差分格式

《Mathematics and Computers in Simulation》：Fast linearized compact difference scheme for a two-dimensional nonlinear time-fractional diffusion-wave equation

提出基于对称分数阶降阶方法的高效紧致差分方案，用于求解二维非线性时间分数扩散波方程。通过非均匀网格的时间L2-1/σ公式和空间紧致差分法构建全离散格式，采用牛顿线性化处理非线性项。理论证明该方案无条件稳定，二阶时间四阶空间精度，数值实验验证了方法对四个圆形孤子碰撞问题的精确性和高效性。

　　本文聚焦于设计一种高效且准确的数值方法，用于求解一个二维非线性时间分数扩散-波动方程。该方程的分数导数采用Caputo意义，而非线性项则由正弦函数构成。通过引入对称分数阶降阶方法，将原始问题转化为一个低阶系统，从而降低求解复杂度。在时间方向上，采用基于非均匀网格的L2-σ公式进行离散化，而在空间方向上则使用紧致差分方法，构建出一个完全离散的差分格式。该方法不仅能够有效应对问题解中出现的初始弱奇异性，还能显著提升计算效率。同时，文章还对所提出的方案进行了严格的稳定性与误差估计分析，并通过大量的数值实验，包括四圆孤子碰撞的数值模拟，验证了该方法的准确性与实用性。

时间分数扩散-波动方程近年来受到了广泛关注，因为它在多个学科领域中展现出了独特的应用潜力。该方程能够融合扩散和波动传播的特性，从而在图像处理中可以高效地刻画高频和低频振荡区域。当方程中的参数c为零时，该模型退化为时间分数Sine-Gordon方程。因此，相较于经典的Sine-Gordon方程，包含反应项c u（c ≥ 0）的时间分数模型（1.1）能够捕捉更广泛的动力学行为。值得注意的是，经典的Sine-Gordon方程是物理学和工程学中具有重要意义的非线性双曲方程，广泛应用于高能物理、场论、电子学等多个领域。

由于时间分数扩散-波动方程（1.1）的解析解难以直接求得，因此需要依赖数值方法进行求解。然而，时间分数模型的解通常存在初始弱奇异性，这会严重影响数值方案的收敛速度。为此，许多学者已经进行了相关研究。例如，Jin等人基于有限元方法对具有光滑和非光滑数据的子扩散方程建立了最优误差估计。Luo等人则分析了Petrov-Galerkin方法在时间分数波动问题中的收敛性。Nong和Chen通过应用基于后向欧拉和二阶后向差分方法的卷积四阶方法，提出了两个高效的有限元方案来求解时间分数移动/固定传输方程。此外，一些研究者倾向于在时间方向上使用非均匀网格，以应对初始弱奇异性问题。Li等人在适当的非均匀网格下，建立了基于矩形和梯形公式的预测-校正方案来求解非线性分数微分方程。在另一项研究中，Liao等人通过开发一种新的离散分数Gr?nwall不等式，研究了基于非均匀L1公式的非线性时间分数反应-子扩散方程的稳定性与收敛性。Ye等人则基于分级网格，采用L2-σ公式提出了一种最优二次样条插值方案，用于求解非线性时间分数子扩散方程。

受到上述研究的启发，本文的目标是设计一种高效且准确的差分方案，用于求解具有弱奇异性解的非线性问题（1.1）。文章的主要贡献包括以下三个方面。首先，利用对称分数阶降阶方法（SFOR），将原始问题转化为一个低阶耦合系统，然后通过应用基于非均匀网格的L2-σ公式和紧致差分方法，构建出一个完全离散的差分格式。非线性项通过牛顿线性化方法进行处理，以确保数值方案的稳定性。最终，我们推导出一个快速线性化的紧致差分方案，用于求解时间分数模型（1.1）。其次，我们理论上证明了该方案在适当选择网格参数和容忍误差的情况下，具有无条件稳定性与收敛性，其时间精度为二阶，空间精度为四阶。第三，通过大量的数值实验，包括四圆孤子碰撞的数值模拟，进一步验证了所提出方案的正确性与应用价值。

本文的其余部分组织如下。在第二部分，我们将非线性问题（1.1）通过SFOR方法转化为低阶耦合方程，并基于快速非均匀L2-σ公式和紧致差分方法构建出一个完全离散的差分格式。在第三部分，我们通过严格的能量分析方法，推导出所提出方案的稳定性与最优收敛阶。在第四部分，我们通过广泛的数值实验，展示了该方案的准确性和计算效率。最后，在第五部分，我们对全文进行总结。

在本文中，我们始终使用C表示一个通用的正常数（或带有下标的常数），该常数在不同情况下可能变化，但与时间或空间步长无关。为了简化表示，除非另有说明，我们将非线性项定义为g(u) = -sin(u)。同时，为了确保数值方法的稳定性，我们采用基于非均匀网格的L2-σ公式进行时间离散化，并在空间方向上使用紧致差分方法。此外，我们还对所提出的方案进行了误差估计分析，以验证其在实际应用中的可靠性。

在求解时间分数模型的过程中，初始弱奇异性是一个关键问题。由于这一特性，传统的数值方法往往难以达到预期的收敛速度。因此，许多研究者致力于开发能够有效处理这一问题的数值方案。例如，Li等人通过应用SFOR方法和L1公式，提出了一个适用于线性问题的有限差分方案。Nong等人则结合SFOR方法和快速离散正弦变换技术，设计出一种快速紧致差分方案，用于求解高维时间分数Cattaneo方程。这些方法在一定程度上提升了计算效率，但仍存在改进空间。

本文提出的方法在时间方向上采用非均匀网格，以应对初始弱奇异性问题，同时在空间方向上使用紧致差分方法，以提高空间精度。通过应用SFOR方法，将原始问题转化为一个低阶耦合系统，使得数值方案的构建更加高效。在时间离散化过程中，我们采用L2-σ公式，并结合非均匀网格进行处理，以提高计算效率。而在空间方向上，紧致差分方法的使用使得方案在空间精度上达到四阶。此外，非线性项的处理采用牛顿线性化方法，使得整个数值方案能够在非线性条件下保持稳定性。

通过上述方法，我们成功构建了一个快速线性化的紧致差分方案，用于求解时间分数模型（1.1）。该方案不仅在时间方向上具有二阶精度，还在空间方向上达到了四阶精度。此外，我们还证明了该方案在适当选择网格参数和容忍误差的情况下，具有无条件稳定性。这些理论结果为实际应用提供了坚实的数学基础。在数值实验部分，我们通过多个测试案例验证了所提出方案的准确性和计算效率。其中包括四圆孤子碰撞的数值模拟，这不仅能够直观地展示数值方案的性能，还能够验证其在复杂物理现象中的适用性。

在实际应用中，时间分数模型的求解需要考虑多种因素，包括网格选择、数值方法的精度以及计算效率。非均匀网格的使用可以有效缓解初始弱奇异性问题，从而提高数值方案的收敛速度。同时，紧致差分方法在空间方向上的应用能够显著提升空间精度。这些方法的结合使得数值方案在时间和空间上均具有较高的计算效率。此外，牛顿线性化方法的引入使得非线性项的处理更加稳定和准确，从而确保整个数值方案的可靠性。

本文所提出的方法在理论和实践层面均具有重要意义。在理论层面，我们通过严格的能量分析方法，证明了该方案的稳定性与收敛性，为其在实际应用中提供了理论支持。在实践层面，通过广泛的数值实验，我们展示了该方案的准确性和计算效率。这些实验结果表明，所提出的方法能够有效处理时间分数模型（1.1）的非线性特性，同时在计算过程中保持较高的精度和效率。

此外，本文还对数值实验的误差进行了详细分析。我们通过计算L2范数误差，验证了所提出方案在时间和空间方向上的收敛性。在实验中，我们采用了不同的网格参数和容忍误差，以确保误差分析的准确性。同时，我们还通过对比不同网格下的误差，进一步验证了所提出方案的计算效率。这些实验结果表明，所提出的方法能够在非均匀网格下保持较高的计算精度，从而为实际应用提供了可靠的数值工具。

综上所述，本文提出了一种高效的快速线性化紧致差分方案，用于求解二维非线性时间分数扩散-波动方程。该方案通过应用SFOR方法，将原始问题转化为低阶耦合系统，从而降低了计算复杂度。在时间方向上，采用基于非均匀网格的L2-σ公式进行离散化，而在空间方向上则使用紧致差分方法，以提高空间精度。通过牛顿线性化方法处理非线性项，使得整个数值方案在非线性条件下保持稳定性。此外，我们还通过严格的误差估计分析和广泛的数值实验，验证了该方案的准确性和计算效率。这些研究结果表明，所提出的方法在处理时间分数模型（1.1）时具有显著的优势，能够有效应对初始弱奇异性问题，同时在计算过程中保持较高的精度和效率。