基于Allen-Cahn理论框架的细菌生长与Allee效应建模：揭示假单胞菌群体动态的时空模式

本研究通过建立耦合Allen-Cahn方程、营养消耗模型和群体感应(QS)系统的理论框架，解决了细菌群体在营养介质中受Allee效应影响的生长模式预测难题。研究人员开发了包含生长阈值c(N)的非线性反应项，证明了初边值问题的唯一可解性，并采用COMSOL Multiphysics平台模拟了假单胞菌(Pseudomonas putida)的树枝状形态发生过程。该研究为微生物群体动态的定量分析提供了新工具，对理解细菌生物膜形成和抗生素抗性进化具有重要启示。

　　

在微生物生态学研究中，细菌群体展现出的复杂空间自组织现象一直令人着迷。当假单胞菌(Pseudomonas putida)在固体培养基上生长时，会形成精美的树枝状结构，这些图案不仅是细菌的"指纹"，更隐藏着群体生存策略的奥秘。然而，传统模型难以解释一个关键现象：为什么某些细菌种群在低密度时会突然崩溃？这就是微生物学中著名的Allee效应——当种群密度低于临界阈值时，生长率会急剧下降甚至变为负值。尽管在高等生物中已被广泛研究，但微生物Allee效应的数学建模仍存在理论空白，特别是如何将空间异质性与生长阈值动态耦合这一难题。

为破解这一难题，Anna Maslovskaya团队在《Scientific Reports》发表了开创性研究。他们巧妙地将凝聚态物理中的Allen-Cahn方程引入微生物学领域，构建了包含三个核心模块的理论框架：首先，用修正的Ginzburg-Landau自由能泛函描述细菌生物量B的时空演化，其中反应项f(B,N)=aB(b-B)(B-c(N))精确刻画了Allee效应；其次，通过方程c(N)=d-θarctan(eN)建立生长阈值与营养浓度N的动态关联；最后整合群体感应(QS)模型，描述自诱导剂(AHL)和乳糖酶(Lactonase)的扩散-反应过程。这种跨学科的建模方法，首次实现了从分子通讯到群体形态的多尺度模拟。

关键技术方法包括：1) 建立耦合的偏微分方程系统(5)-(8)描述营养依赖的细菌生长；2) 推导新的先验估计证明解的唯一性；3) 采用COMSOL Multiphysics有限元平台进行数值模拟；4) 设置参数a=1 m⁶/((a.u.)²·h)、D_B=3×10^-11 m²/h等基于实验数据的参数化；5) 通过初始条件(30)模拟不同接种密度的生长场景。

【细菌生长模型的Allee效应机制】

研究通过函数f(B,N)的立方非线性特性，成功复现了强/弱Allee效应的关键特征。当营养浓度N₀=1 a.u./m³时，模拟显示强Allee效应会使营养消耗降低30-40%，这是因为生长阈值c(N)限制了群体扩张。图5对比显示，弱Allee效应更符合实验观察的假单胞菌树枝状形态，其反应项在B<>

【营养依赖的生长阈值动态】

方程(4)揭示的营养敏感机制是模型的核心创新。图6显示当N₀从0.1增至1 a.u./m³时，临界阈值B₂显著下降，说明高营养环境能提升小群体的存活率。这种动态调整特性解释了为何在贫营养条件下(N₀=0.2 a.u./m³)，只有初始浓度B_m>0.4505 a.u./m³的群体才能存活。

【群体感应的空间异质性】

图7-8展示了QS化学物质的空间分布规律：AHL浓度在菌落边缘达到峰值，这是由于边界区域细菌密度高且乳糖酶的降解作用存在时滞。而中心区域虽然生物量最大，但因乳糖酶积累导致QS水平下降。这种"环状信号"模式为理解生物膜的空间异质性提供了新视角。

这项研究通过物理-生物杂交模型，建立了微生物群体动态研究的新范式。理论方面，将Landau相变理论与Allee效应结合，证明了含非线性反应项(3)的Allen-Cahn方程(5)解的唯一性；应用方面，模拟结果与实验观察高度吻合，特别是重现了假单胞菌的典型树枝状形态。发现的营养-阈值耦合机制(c(N)函数)和QS空间梯度，为抗生素耐受性研究提供了定量工具。未来通过引入AHL对生长的反馈调节，可进一步优化模型预测能力。该框架可扩展至微生物生态、生物膜工程等多个领域，实现从分子机制到群体行为的跨尺度预测。