由具有线性变化本征应变的夹杂物引起的弹性场的卷积兼容建模

《Mechanics of Materials》：Convolution-Compatible Modeling of Elastic Fields Induced by Inclusions with Linearly Varying Eigenstrains

弹性场建模与高效计算方法

　　这篇研究聚焦于工程材料中由形状复杂、非均匀应变引起的弹性场建模这一经典难题。通过引入一种与卷积相容的格林函数表达方式，研究人员成功地将应变效应分解为两个组成部分：一个与均匀应变相关的线性坐标加权积分项，以及一个专属于线性变化应变的额外积分项。基于这一结构，研究者推导出矩形夹杂物的位移、应变和应力场的显式解析张量。同时，提出了一种结合原始函数表达与快速傅里叶变换（FFT）算法的通用且高效的计算方法，使得对任意形状和线性变化应变的夹杂物进行快速评估成为可能。该解析解在应变均匀的情况下退化为经典解，表明其一致性和更广泛的适用性。与有限元模拟和直接叠加法的对比验证了该方法在多种场景下的准确性和效率，包括线性分布应变、多夹杂物系统以及复杂几何结构。研究提出的解析框架为模拟异质材料中由热载荷引起的弹性场提供了基础。

在工程材料的性能提升过程中，其微观结构特性至关重要。夹杂物作为材料中的关键微观结构元素，包括铸造缺陷、增强相颗粒、晶界和沉淀物，其形状、空间分布和力学特性对材料宏观力学行为有显著影响。例如，在航空发动机部件中，热障涂层的剥落往往源自涂层内部微孔的应力累积效应。在增材制造的铝合金中，不规则缺陷的尖锐边缘可能成为疲劳裂纹的起始点，从而显著缩短部件的使用寿命。因此，理解由夹杂物引起的材料失效基本机制对于提高材料的耐久性和可靠性具有重要意义。

1957年，Eshelby提出的夹杂物理论为分析夹杂物的弹性场奠定了基础，成为复合材料力学和缺陷分析的重要里程碑。在研究椭球形夹杂物的弹性场及其相关问题时，他发现当在夹杂物周围施加均匀应力时，夹杂物内部的应力分布是均匀的，这一结论对复合材料的发展、地质研究和生物医学工程都有重要帮助。应用Eshelby多项式，可以显著简化椭球形夹杂物内部应力场的求解问题。然而，已有研究指出，由于夹杂物内部的应变仅存在于其内部，因此推导椭圆夹杂物周围的外部场变得异常复杂。这种复杂性阻碍了建立统一的内部与外部场解决方案。因此，实际计算中常常需要区分场点位于夹杂物内部或外部，这不可避免地增加了计算时间。

对于具有尖锐角落的夹杂物边界，研究人员对此关注较少。关键问题如正方形角落的应力集中和三角形夹杂物尖锐边缘的突变效应仍然未被充分研究。许多学者尝试突破几何限制，如Nozaki等人推导了任意多边形夹杂物在均匀应变下的显式应力场解，揭示了角落点处的应力奇异性规律。Trotta等人通过解析延拓和共形映射研究了多边形夹杂物的Eshelby张量，但其解仅适用于均匀应变情况。Miao等人则使用复变函数和Cauchy积分技术分析了刚性夹杂物在弹性基体中的平面应力场，揭示了界面应力分布规律以及应力集中与顶点曲率之间的指数关系。值得注意的是，上述研究结果均基于均匀应变的假设。然而，在实际材料中，混合的应变往往由于相变梯度、热力学耦合或缺陷演化而呈现出非均匀分布。这种非均匀分布的夹杂物可以显著改变局部的应力集中和能量耗散机制，而现有的解析模型缺乏有效的描述。

Sharma等人发现，在电子芯片中，热应变呈现出高斯或指数分布特征。Zhang团队通过实验揭示了非均匀应变对合金损伤的机制，突显了其在材料退化中的关键作用。尽管数值方法在工程中广泛应用，但依赖网格划分在准确评估具有奇异性局部物理特性时存在挑战，特别是在复杂的几何模型中。相比之下，解析解虽然能够有效提高计算精度和效率，但往往受限于复杂的数学推导。Li等人推导了任意多边形夹杂物在非均匀应变下的显式位移场解，但该解在求解多夹杂物问题时可能不够高效。Volkov-Bogorodskiy等人提出了基于Papkovich-Neuber类型解析解的Trefftz近似方法，用于梯度弹性问题的块结构分析。

尽管单夹杂物模型在理论上具有优势，但实际材料中夹杂物的分布、形态和相互作用对材料的力学响应和失效机制有深远影响。这凸显了研究多夹杂物系统对于更全面分析材料特性的必要性。Mura率先将等效夹杂物方法（EIM）应用于双椭球形夹杂物。Rodin展示了EIM在处理均匀应变时具有计算优势，但在非均匀应变情况下，需要引入精细积分或级数展开，这导致计算成本呈指数级增长。Zhang提出了一种基于EIM的近似分析方法，尽管其复杂性相对较高。Nguyen等人通过构建代理模型实现机器学习，显著提高了计算效率并保证了准确性。

在处理非均匀应变场（如相变引起的应变）时，仍然需要高效的算法和降阶模型来克服现有的计算瓶颈。目前，针对非均匀应变场的解析模型大多受限于多项式或分段均匀的假设，这使得难以准确表征实际材料中的梯度分布和位错引起的非均匀应变场。同时，针对任意形状夹杂物的解析解极为稀缺。现有的椭球形近似或有限元方法在识别多边形夹杂物角落处的应力奇异性时存在困难。此外，内部与外部场解之间的根本差异需要频繁切换积分核函数和解的判定条件，这显著增加了计算负担。

为解决这一问题，本文提出了一种解析框架，用于应对空间异质应变分布和复杂夹杂物几何的双重挑战。通过变量变换，将解场分解为一个均匀基场和一个线性扰动场。基于格林函数，分别推导出矩形夹杂物的显式解析解。这些解析解进一步通过稳健的网格离散化策略与快速傅里叶变换（FFT）方案相结合，使得对任意形状夹杂物和多夹杂物系统的高效计算成为可能。同时，通过反三角函数构建了矩形夹杂物内部与外部场解的统一模型，从而有效解析不规则边界处的力学响应。本文通过有限元验证和理论推导，丰富了非均匀应变下复杂夹杂物的解析理论。

本文的结构如下。第二部分提出了基于Eshelby张量的解析框架，用于分析任意形状夹杂物在具有线性分布应变的弹性场，结合FFT以降低多夹杂物计算的复杂性。第三部分展示了卷积兼容建模的数值实现。第三部分第一小节详细介绍了基于FFT的算法实现路径，而第三部分第二小节则将该方法的计算效率与直接叠加法进行了比较。第四部分展示了四种案例研究以验证当前的解，其中所有基准示例的结果均通过ABAQUS 2023有限元软件进行了验证。第四部分第一小节验证了单矩形夹杂物在不同应变成分下的解析解的可靠性，结果非常准确。第四部分第二小节比较分析了矩形、圆形、三角形和椭圆形夹杂物在相同应变下的弹性场分布影响。第四部分第三小节展示了多夹杂物分布中旋转角度对应力应变耦合机制的影响，以椭圆为例进行了演示。附录A展示了沿y轴方向线性变化应变引起的弹性场解。

本研究的创新点在于，首次将线性变化应变与解析框架相结合，从而突破了传统模型在应变均匀性和形状限制上的不足。通过将格林函数重新组织为卷积兼容的表达形式，不仅简化了应变效应的处理，还为复杂几何形状和多夹杂物系统的计算提供了新的思路。FFT的引入使得计算效率显著提高，特别是在处理大规模多夹杂物系统时，能够快速获得准确结果。此外，通过反三角函数的使用，实现了内部与外部场解的统一，有效解决了传统方法中因场点位置不同而导致的计算复杂性。这种方法在保持解析解精度的同时，极大地降低了计算成本，为工程材料的失效分析和性能优化提供了新的工具。

在实际应用中，这种方法能够有效应对由夹杂物引起的复杂应力场和能量耗散机制。例如，在航空发动机部件中，热障涂层的剥落可能源于微孔的应力累积效应，而本文提出的方法能够更准确地模拟这种效应。在增材制造的铝合金中，不规则缺陷的尖锐边缘可能成为疲劳裂纹的起始点，本文的方法能够识别这些关键区域并提供更精确的预测。此外，在地质研究中，夹杂物的非均匀分布可能影响地层的力学响应，而本文的方法能够有效模拟这种效应，为地质工程提供新的理论支持。在生物医学工程中，夹杂物的应力分布可能影响组织的力学行为，本文的方法能够提供更精确的解析解，为生物材料的研究提供新的视角。

本文的研究方法在多个方面具有优势。首先，通过将应变分解为均匀基场和线性扰动场，使得复杂的应变分布可以被更清晰地表达和处理。其次，FFT的引入显著提高了计算效率，特别是在处理大规模多夹杂物系统时，能够快速获得准确结果。第三，通过反三角函数的使用，实现了内部与外部场解的统一，有效解决了传统方法中因场点位置不同而导致的计算复杂性。这些方法的结合不仅提高了计算精度，还降低了计算成本，为工程材料的失效分析和性能优化提供了新的工具。

此外，本文的方法在多个案例研究中得到了验证。例如，在单矩形夹杂物的弹性场分析中，方法的准确性得到了验证。在不同夹杂物形状（矩形、圆形、三角形、椭圆形）的弹性场分布分析中，方法的有效性得到了展示。在多夹杂物系统中，旋转角度对应力应变耦合机制的影响也得到了研究。这些案例研究不仅验证了方法的可靠性，还展示了其在不同场景下的适用性。通过与有限元模拟的对比，方法的准确性得到了进一步确认，同时其计算效率也得到了显著提升。

综上所述，本文提出的解析框架为处理复杂夹杂物和非均匀应变提供了新的思路。通过将应变分解为均匀基场和线性扰动场，结合FFT算法，不仅提高了计算效率，还增强了解析解的准确性。这种方法在工程材料的失效分析、性能优化和设计改进中具有重要应用价值。未来的研究可以进一步扩展该方法的应用范围，包括非线性应变分布和更复杂的几何形状，以更好地满足实际工程需求。此外，结合机器学习等先进技术，有望进一步提高计算效率并增强模型的适用性，为材料科学和工程提供更强大的工具。