Cosserat介质动力学：基于仿射张量的多维材料体统一建模方法

这篇综述创新性地提出基于仿射张量(affine tensor)的几何框架，通过构建(d+1)维物质流形(matter manifold N)嵌入时空(M)，统一描述从点状物体(d=0)到三维体(d=3)的Cosserat介质动力学。作者引入挠率张量(torsor)和élie Cartan仿射联络(affine connection)，建立协变散度自由挠率原理，推导出10个平衡方程，并在伽利略相对论(Galilean relativity)框架下验证了1D-4D体系的普适性。

　　

Highlight

本研究通过仿射张量几何框架，为从点状物体到三维体的Cosserat介质动力学建立统一模型。物质流形N（维度d+1）嵌入时空M的设定，可灵活应用于固体（梁/板/壳）和流体（管流/射流）体系。

Affine tensors and torsors

挠率张量(torsor)定义为时空切空间上仿射函数的双线性反对称映射。通过élie Cartan发展的仿射群联络(affine group connection)，建立协变导数运算规则，其分量变换定律构成动力学建模基础。

Pointwise object

以点状物体（如卫星）为例，在非本征框架中建立运动方程。通过平移操作C=[0;x]^T，揭示伽利略时空下质量-力张量T与角动量-扭矩张量J的耦合关系。

Cosserat media of arbitrary dimensions

将物质流形N（如拱结构d=1）嵌入三维物理空间，通过纤维束理论描述微观结构。静态极限下，Cauchy介质经典结果被成功复现，验证模型兼容性。

1D Cosserat media

针对一维体系（梁/管流），推导出包含平流项?(ρ_lv_t)/?s的质量守恒方程，以及含科里奥利力(-2Ω×v)的线性动量方程，展现流体-固体统一描述优势。

Affine tensor analysis and principle of divergence free torsor

基于李群G结构，提出挠率协变散度为零的普适原理：??_γT^βγ=0和??_γJ^αβγ=0。通过Ehresmann联络实现切空间粘接，导出10个协变形式的平衡方程。

Dynamics of a bulky body: the case of a Cauchy medium

在直角坐标系下简化嵌入映射i:N→M，证明三维Cauchy介质满足经典应力平衡?σ_ij/?x_j+ρf_i=ρa_i，凸显模型与传统连续力学的自洽性。

Conclusion

该几何框架通过时空统一坐标处理，将质量、力、应力等物理量整合为仿射张量分量，为多尺度材料建模提供新范式。未来可拓展至广义相对论和生物软组织力学研究。