恐惧效应下空间异质环境中个体流动性的延迟扩散SPIR传染病模型研究

本研究针对传染病传播中恐惧效应对人群流动性的影响，构建了包含局部与非局部扩散的SPIR（易感-保护-感染-康复）延迟扩散模型。研究人员通过数学建模证明了模型的适定性，揭示了基本再生数R0的阈值效应：当R0<1时疾病灭绝，R0>1时感染均衡态存在且解一致持续。研究通过Lyapunov函数证明了平衡态的全局稳定性，并与经典SIR模型对比阐明了保护措施对遏制疫情的关键作用。该成果为理解恐惧驱动的行为干预对传染病时空传播的影响提供了理论框架。

　　

在COVID-19等传染病大流行期间，恐惧心理会显著改变人群的流动模式——未感染者因恐惧而减少外出（"居家隔离"），感染者则可能因就医需求增加活动范围。这种空间行为的异质性给传统传染病模型带来挑战。Ghilmani Sarmad等人在《Scientific Reports》发表的研究，创新性地将心理学因素与流行病学模型结合，构建了包含恐惧驱动流动性变化的SPIR（Susceptible-Protected-Infected-Recovered）延迟扩散模型。

研究团队通过混合局部扩散（Laplacian算子Δ）和非局部扩散（积分算子H）分别刻画不同健康状态人群的空间行为：易感者(S)和保护者(P)采用局部扩散模拟谨慎的邻里活动，感染者(I)和康复者(R)采用非局部扩散反映活动范围扩大。模型引入时滞τ表示保护措施持续时间，保护率b₂反映恐惧强度，ε为保护失效后重返易感状态的比例。

关键技术方法包括：1）构建含Neumann边界条件的偏微分方程组；2）使用半群理论证明解的存在唯一性；3）通过变分公式计算基本再生数R₀；4）运用Lyapunov函数分析平衡态稳定性；5）比较静态分析确定临界保护率b_2min。

模型适定性分析

通过将系统(1)重构为抽象方程(3)，证明算子A生成严格压缩的半群。定理1-2建立了解的全局存在性、正性和有界性，定理3显示半群具有全局紧吸引子。这些结果为后续动力学分析奠定基础。

基本再生数阈值

公式(14)给出的R₀变分表达式显示：扩散系数δ_I增大可使R₀趋近于0，说明空间扩散能抑制疫情。当R₀<1时，定理4通过构造含正特征函数v₀(x)的Lyapunov函数L₁(t)，证明无病平衡点E⁰全局渐近稳定。

地方病平衡态存在性

当R₀>1时，定理5利用一致持续性（定义2）和全局吸引子理论，证明地方病平衡态E的存在性。通过构造含Volterra函数h(x)=x-1-lnx的复合Lyapunov函数(26)(27)，分别在δ_S=0和δ_I=0两种情况下证明E的全局吸引力。

保护措施的临界值

通过比较SPIR与SIR模型的R₀，公式(34)推导出使R₀<1的最小保护率b_2min。图5数值模拟显示：当保护率α₀从0.2增至2.6时，R₀从1.78降至0.89，实现疫情控制。

这项研究开创性地量化了恐惧心理对传染病传播的双重影响：一方面通过保护措施降低传播风险，另一方面改变感染者空间行为增加扩散。理论证明非局部扩散算子在描述行为异质性方面的优势，为公共卫生干预提供量化工具。特别是明确保护措施持续时间τ与临界保护率的数学关系，对制定精准防控策略具有指导意义。研究建立的混合扩散框架可扩展至其他行为驱动的传染病建模，如性传播疾病或疫苗犹豫情景下的疫情预测。