时空分数阶Volterra扩散方程解的渐近行为及其在种群动力学中的应用

这篇综述研究了具有时间-空间分数阶导子的Volterra型扩散方程(D0|tαu)+(-ΔN)σu=u(1+au-bu2)-auK*u，通过建立解的有界性和一致连续性，证明了正解会渐近收敛于极限问题1/√b的稳定状态。该模型创新性地将分数阶算子应用于种群动力学，为理解物种空间分布和时间演化提供了新的数学工具。

　　

Highlight

定义与记号

首先给出Riemann-Liouville分数阶积分、Riemann-Liouville分数阶导数和Caputo分数阶导数的定义（参见文献[16]）。

定义1

设f∈L¹([0,T])且α>0。左右Riemann-Liouville分数阶积分分别定义为：

(I_0|t^αf)(t) := (1/Γ(α))∫₀^t(t-τ)^α-1f(τ)dτ

(I_t|T^αf)(t) := (1/Γ(α))∫_t^T(τ-t)^α-1f(τ)dτ

定义2

绝对连续函数f的Riemann-Liouville分数阶导数（α∈(0,1]）定义为：

(^RLD_0|t^αy)(t) := d/dt(I_0|t^1-αy)(t)

局部存在性

本节证明在有限时间区间[0,T]上解的存在唯一性。定义非线性项：

f(x,t,u)=u(1+au-bu²)-auK*u

并引入算子S_α(t)和P_α(t)，它们由Wright型函数Φ_α(z)生成，用于构造解的表达式。

正性、有界性与一致连续性

定理2证明：当初值u₀≥0时，问题(1)-(2)的解满足0≤u(x,t)≤max{‖u₀‖_∞,R}，其中R是方程1+aw-bw²=0的正解。通过分解u=u⁺+u^-并分析各项性质，建立了解的全局有界性。

正平衡点的渐近稳定性

定义ω-极限集ω(u₀)，利用紧嵌入定理证明该集合非空。任何非负φ∈ω(u₀)都满足极限方程：

(-Δ_N)^σφ=φ(1-bφ²)

由于时间分数阶导数的存在，传统Lyapunov稳定性方法不再适用，转而采用Langlais和Phillips提出的动力学系统方法。

结论

本研究通过分数阶算子刻画了种群密度时空演化的记忆效应和长程扩散特性，建立了非局部Volterra模型的全局动力学行为。创新性地解决了分数阶导数带来的分析方法限制，为生态建模提供了新的数学框架。