基于自正则化原理的双变量函数高阶偏导数恢复方法研究

本文创新性地提出了一种基于自正则化(self-regularization)原理的截断方法，用于从噪声数据中高效恢复双变量函数的高阶偏导数。研究在L2度量和一致度量下建立了误差估计，证明该方法在精度和离散信息量方面均达到阶最优(order-optimal)估计。数值实验验证了该算法在傅里叶-勒让德(Fourier-Legendre)系数扰动情况下的优越性能。

　　

Highlight

本研究亮点在于将自正则化(self-regularization)原理应用于高阶偏导数的数值恢复问题，通过巧妙设计截断方法，在保证计算效率的同时实现了理论上的最优精度。

Section snippets

问题描述

考虑定义在区间[-1,1]上的勒让德多项式(Legendre polynomials)系统φ_k(t)，构建L₂(Q)空间研究双变量函数的偏导数恢复问题。其中傅里叶-勒让德系数〈f,φ_k,j〉是关键研究对象。

截断方法在L₂度量下的误差估计

作者提出的截断方法D_n,γ^(r,0)在L₂度量下展现出优异的性能。通过优化离散化水平与输入数据噪声水平的关系，该方法实现了稳定性与精度的完美平衡。

一致度量下的误差估计

Lemma 4.1给出了关键的理论保证：当f∈L_s,2^μ?且参数满足特定条件时，方法误差‖f^(r,0)-D_n,γ^(r,0)f‖_C≤c‖f‖_s,μ?n^{-μ₁+2r-1/s+3/2}。这一结果为算法在实际应用中的可靠性提供了严格数学基础。

Galerkin信息最小半径

研究建立了关于最小半径R_N,δ^(r,0)(L_s,2^μ?,C,?_p)的尖锐估计，证明所提方法在功率尺度上达到最优。

计算实验

在配备4核Intel Core i5处理器和16GB内存的计算机上，使用MATLAB 2022a进行的数值实验证实了该方法的高效性。特别值得注意的是，该方法在傅里叶-勒让德系数扰动情况下仍保持稳定性能。

CRediT作者贡献声明

Y.V. Semenova负责文稿撰写、可视化与调研；S.G. Solodky负责方法学设计与研究指导。

资助声明

本研究获得欧盟MSCA4Ukraine项目(编号1232599)和大众汽车基金会"从建模分析到近似"项目支持。

致谢

作者特别感谢Serhii Stasyuk教授富有建设性的讨论和建议。