基于分数阶导数与Adams-Bashforth方法的结核病治疗干预模型综合研究

本研究针对全球结核病(TB)防控面临的诊断延迟、治疗中断等挑战，创新性地构建了包含六类人群的分数阶微分方程模型，结合Adams-Bashforth方法捕捉疾病传播的记忆效应。研究定量推导了基本再生数(R0)，证明当R0>1时地方病平衡点全局稳定，并通过敏感性分析发现提高治疗率(γT/γC)可显著改善防控效果，为优化公共卫生干预策略提供了数学依据。

　　

结核病(TB)作为全球最致命的传染病之一，每年导致约130万人死亡，而COVID-19大流行更使结核病防控雪上加霜——医疗资源挤兑导致诊断延误、治疗中断，造成结核杆菌传播反弹。这个由Mycobacterium tuberculosis引起的疾病，通过空气传播威胁着免疫低下人群，尤其是HIV感染者。更棘手的是，耐药结核病(MDR-TB/XDR-TB)的出现使治疗难度倍增。传统整数阶微分方程模型难以捕捉结核病潜伏期长、复发率高等复杂特征，这正是Benedict Celestine Agbata团队开展这项创新研究的现实背景。

在《BMC Infectious Diseases》发表的这项研究中，团队构建了包含分数阶导数的结核病传播动力学模型，通过Adams-Bashforth数值方法解决传统模型无法反映的"记忆效应"问题。研究将人群划分为易感者(S_H)、潜伏感染者(E_T)、急性感染者(A_T)、慢性感染者(C_T)、治疗中人群(T_T)和康复者(R)六类，采用Caputo型分数阶导数刻画结核病的长期生物学记忆特性。通过下一代矩阵法计算基本再生数R₀，结合Lyapunov函数证明平衡点的全局稳定性，并利用参数敏感性分析识别关键干预靶点。

关键技术方法包括：1) 构建六室分数阶微分方程系统；2) 采用Adams-Bashforth-Moulton数值解法处理非局部依赖关系；3) 基于WHO流行病学数据参数校准；4) 通过下一代矩阵法推导R₀；5) 运用Lyapunov直接法进行稳定性分析；6) 开展参数敏感性指数计算。

模型分析结果显示：

1. 1.

   基本再生数动态：表面图分析表明，当暴露者转感染率(θ_T)和接触率(β_T)增加时，R₀^T显著超过阈值1（图3a），而提高急慢性患者治疗率(γ_T/γ_C)可使R₀^T降至1以下（图3b），证实治疗干预的关键作用。

2. 2.

   记忆效应影响：分数阶模型显示，降低导数阶数α会延缓潜伏期人群衰减（图5a），这与结核病潜伏感染特征相符。急性感染者动态显示，α=0.85时的下降曲线比整数阶模型更平缓（图5b），更真实反映慢性感染过程。

3. 3.

   治疗优化路径：敏感性分析识别出β_T(+1.7935)、τ(+1.2490)等正向敏感参数，以及γ_C(-1.6667)、δ_T(-2.5381)等负向敏感参数（图2）。这表明降低接触率和提高治疗成功率是防控核心。

4. 4.

   人群动态模拟：易感人群随β_T增加而减少（图4b），治疗人群随时间推移显著增长（图6b），康复率在α较高时更快提升（图7a），这些发现支持早期诊断和持续治疗的重要性。

研究结论部分强调，该分数阶模型突破了传统整数阶模型的局限性，首次将记忆效应与结核病治疗干预动态相结合。理论证明当R₀>1时系统存在唯一全局稳定的地方病平衡点，这解释了结核病持续流行的内在机制。通过量化不同干预措施的效果，研究提出三项关键建议：缩短诊断延迟以降低θ_T、提高治疗可及性以增强γ_T/γ_C、优化资源分配以控制β_T。这些发现为WHO"终结结核病战略"提供了数学模型支持，特别适用于医疗资源有限地区。

讨论部分指出，该研究的创新性体现在：1) 采用Mittag-Leffler函数表征记忆效应；2) 开发适用于分数阶系统的Lyapunov函数构造方法；3) 揭示治疗延迟与疾病复发的非线性关系。作者也承认模型未考虑疫苗接种和空间异质性等限制，建议未来研究可整合GeneXpert诊断技术和M72/AS01E疫苗数据。这项研究为理解结核病复杂传播规律提供了新范式，其建模框架可扩展应用于其他具有潜伏期特征的传染病研究。