基于高频缩放技术的神经算子光谱偏差缓解方法及其在物理系统中的应用

为解决神经算子在多尺度物理系统中对高频模态的忽略问题，研究人员提出了一种名为高频缩放（HFS）的新方法，通过分解潜在空间特征并独立缩放其高频成分，显著提升了卷积神经算子在单相和两相流问题中的预测精度。该研究不仅验证了HFS在降低光谱偏差和过平滑效应方面的有效性，还结合扩散模型进一步优化了高频特征的恢复能力，为复杂物理系统的建模提供了高效且低成本的解决方案。

　　

在科学计算和工程领域，精确模拟多尺度物理系统（如湍流、两相流）一直面临巨大挑战。传统直接数值模拟（DNS）计算成本高昂，而新兴的神经算子（Neural Operators, NOs）虽能高效学习无限维函数空间的映射，却因光谱偏差（Spectral Bias）问题难以捕捉高频模态，导致预测结果过度平滑。这一问题在沸腾传热、湍流等具有尖锐梯度或局部特征的系统中尤为突出，严重限制了神经算子的实际应用价值。

为突破这一瓶颈，Brown University的Siavash Khodakarami团队在《Neural Networks》发表研究，提出了一种创新性的高频缩放（High-Frequency Scaling, HFS）方法。该方法通过将卷积层的潜在特征分解为均值分量（DC）和高频分量（HFC），并引入可学习的缩放参数独立调整两者比例，显著增强了神经算子对高频特征的表达能力。研究结合带残差块的UNet（ResUNet）架构，在两相流沸腾问题和Kolmogorov流动中验证了HFS的优越性：在16M参数的模型中，气泡区域均方根误差（Bubble RMSE）降低16%，能量谱在高波数区间更接近真实解。进一步分析表明，HFS通过提升潜在空间高频成分的能量占比（如解码器后三层的平均高频能量比提高15-20%），实现了对涡旋、相界面等局部特征的精准捕捉。

关键技术包括：1）构建HFS模块，通过空间分块和参数化缩放重构特征；2）采用基于Lion优化器的ResUNet框架；3）结合扩散模型（DM）进行后处理；4）使用BubbleML数据集（Flash-X模拟的FC-72流体沸腾数据）和公开湍流数据集验证性能。

研究结果显示：

1. 1.

   两相流问题性能提升：在过冷沸腾预测中，HFS使3.5M参数模型的相对误差降低42%，气泡区域RMSE从0.269降至0.127。相图显示冷凝尾迹的涡旋结构更清晰（图5）。

2. 2.

   Kolmogorov流动优化：尽管湍流特征分布全局化使HFS效果减弱，但1.7M参数模型的相对误差仍从10.2%降至9.3%，能量谱在k>30的高波数区吻合度提升（图4）。

3. 3.

   光谱分析验证机制：潜在空间特征的能量谱显示，HFS增强模型在编码器全层和解码器后三层的平均高频能量比更高（图6i-j），且缩放参数α_h最终值普遍大于α_l（图8），证实其对HFC的偏好。

4. 4.

   扩散模型协同效应：当DM以HFS-NO为前置时，高频带相对能量谱误差（Rel. F_high）进一步降低23.2%，但需注意DM无法修正NO在宏观特征上的错误（图10）。

讨论指出，HFS的成功依赖于局部特征的可分离性——其对沸腾问题（局部气泡/界面）效果显著，但对全局小尺度特征（如湍流射流）改善有限（图11）。与傅里叶域缩放相比，HFS以更低计算成本（迭代时间仅增加10-30%）实现更优误差控制（表3）。

该研究的意义在于：1）首次将视觉Transformer中的特征缩放思想迁移至科学计算领域，为光谱偏差问题提供轻量化解决方案；2）揭示了神经算子潜在空间中频率成分的传播规律；3）构建的HFS模块可无缝集成至现有架构，推动其在CFD、材料相变等领域的应用。未来工作可探索参数初始化策略优化，并扩展至三维非定常问题。