封闭曲面上Keller-Segel方程的无条件结构保持全离散有限元方法研究及其在细胞趋化模拟中的应用

本文提出了一种用于封闭曲面Keller-Segel方程求解的无条件结构保持全离散有限元方法（FEM）。通过Slotboom变换获得等效对称形式，采用曲面有限元法（SFEM）和欧拉格式进行时空离散，并引入分段局部几何平均近似指数函数、辅助变量解耦及集总质量矩阵处理，新方案严格满足质量守恒、正性保持和能量耗散特性。该方法每步仅需求解常系数线性椭圆方程，计算高效，为细胞趋化等生物过程模拟提供了可靠工具。

　　

Highlight

结构保持分析

本节将推导新提出的方案3的结构保持特性。

定理4.1

由方案3生成的数值解(c_hⁿ, s_hⁿ)满足质量守恒律，即对n=0,1,…,N-1，始终成立(c_hⁿ,1)_Γh = (c_h⁰,1)_Γh。

证明

在(21)式中令v_h=1，结合I_h(?_hⁿ⁺¹)的集总性质及?_Γh算子的特性，可递推得到质量守恒结论。若三角网格满足...

数值结果

本节通过数值实验验证理论分析，展示该方法在模拟细胞趋化等生物现象中的卓越性能。

结论

我们提出的全离散有限元法（FEM）完美解决了封闭曲面Keller-Segel方程求解中的三大难题：采用分段局部几何平均逼近指数函数，辅助变量解耦非线性项，集总处理质量矩阵。数值实验证实该方法兼具计算高效性与物理特性保持能力，为生物数学建模提供了新范式。