二维双指数磁共振弛豫测量中的参数估计：频率学派与贝叶斯方法的案例比较研究

本文对比研究了磁共振（MR）弛豫测量中二维双指数衰减模型的参数估计方法，重点分析了频率学派（非线性最小二乘法，NLLS）与贝叶斯（Metropolis-Hastings算法）方法在反转时间（TI）和回波时间（TE）调控下的性能差异。研究揭示了在TI空点（null points）附近，模型退化为单指数函数时参数估计的病态性（ill-posedness），并通过拓扑数据分析（TDA）量化了参数点云的聚类方差与分离度。两种方法均能通过极值定位空点，为MR弛豫测量中的纵向弛豫时间（T1a/T1b）估计提供了新视角。

　　

1. 引言

磁共振（MR）弛豫测量中的参数估计是科学与工程领域的核心问题。频率学派通过多数据集推断参数分布，而贝叶斯方法则基于单数据集构建联合概率密度函数（PDF）。本研究聚焦二维双指数衰减模型，其信号方程包含两个水分子池（a和b）的丰度分数（c_a/c_b）、横向弛豫时间（T_2a/T_2b）和纵向弛豫时间（T_1a/T_1b）。实验通过反转恢复脉冲序列调控TI和TE，当TI接近空点（T_1aln2或T_1bln2）时，信号退化为单指数函数，导致四参数模型严重过参数化，形成病态逆问题。

2. 材料与方法

2.1 频率学派方法

采用非线性最小二乘法（NLLS）对50,000次噪声模拟数据进行拟合，生成包含两个镜像簇的4D参数点云。初始猜测设置为真实参数的正序与逆序，以捕捉对称性导致的参数互换性。

2.2 贝叶斯方法

基于Metropolis-Hastings算法构建后验PDF，通过随机游走生成参数点云。采用无界均匀先验，后验分布与高斯噪声下的似然函数成正比。算法通过接受-拒绝机制探索参数空间，避免初始猜测偏差。

2.3 点云度量

通过拓扑数据分析（TDA）量化点云特性：

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  聚类方差：反映参数估计的不确定性，在空点处达到峰值。

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  聚类分离度：通过持续同调（persistent homology）计算簇间最小距离，空点处分离度最小。数据预处理采用分箱法（binning），将4D超立方体划分为100⁴子区域以提升计算效率。

3. 结果与讨论

3.1 点云度量分析

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  聚类方差：频率学派与贝叶斯方法均在空点（TI=416ms和832ms）处出现峰值，但贝叶斯方法在高步数（m=10,000）下方差更大，反映后验探索更广。

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  聚类分离度：频率学派在空点处分离度急剧下降，而贝叶斯方法变化平缓，表明后者对病态性更稳健。

3.2 方法比较

频率学派依赖多实验均值，而贝叶斯方法从单次实验提取完整PDF。两者在空点附近均面临挑战，但贝叶斯方法通过后验分布更直观展现参数不确定性。研究还指出，约束参数排序（T₂₁<>₂₂）可将双簇合并为单簇，简化分析。

4. 结论

二维双指数模型在MR弛豫测量中兼具理论与应用价值。频率学派与贝叶斯方法通过不同路径揭示参数估计的病态性，空点处的极值行为为纵向弛豫时间（T₁）的精准测量提供了新思路。未来工作可探索非均匀先验和非高斯噪声对点云拓扑的影响。