基于高斯过程回归与有限差分法的深度算子网络代理建模高效数据生成新策略

本文提出了一种创新的数据生成框架，通过结合高斯过程回归（GPR）和二阶有限差分法，显著降低了深度算子网络（DeepONet）代理建模的训练数据生成成本。该方法绕过传统有限元法（FEM）求解偏微分方程（PDE）的瓶颈，直接生成满足边界条件的随机主场并逆向计算源场，为热传导方程等物理系统的高效代理建模提供了通用解决方案。

　　

Highlight

本研究亮点在于提出了一种颠覆传统PDE求解流程的数据生成范式：通过高斯过程回归（GPR）直接构造符合边界条件的主场（如温度场），再基于二阶精度有限差分法逆向推导源项（如热源项）。这种"逆向思维"将计算复杂度从FEM的O(n³)降至O(n)，为DeepONet等算子学习模型提供了高效的训练数据 pipeline。

Proposed data generation framework

如算法1所示，框架分为三阶段：

1. 1.

   边界适配：采用GPR核函数生成满足Dirichlet/Neumann边界条件的随机光滑场

2. 2.

   场运算：通过中心差分格式?²T计算拉普拉斯项，推导出对应源项q(x,y)

3. 3.

   数据增强：引入乘性噪声构建非线性材料参数κ(T)=κ₀(1+βT)的复杂场景

Numerical examples

以二维稳态泊松方程?·(κ?T)=q为测试平台：

• •

  案例1：均质边界下，预测误差<1.2%（vs FEM基准）

• •

  案例2：异质边界问题中，MSE低至3.4×10^-4

• •

  案例3：混合边界条件下，峰值温度预测精度达98.7%

Conclusions

该框架的创新性体现在：

1. 1.

   计算效率提升20倍（单案例耗时从4.2h→12min）

2. 2.

   支持非均匀网格和复杂几何体

3. 3.

   可扩展至Navier-Stokes方程等非线性问题

CRediT authorship contribution statement

Shivam Choubey：算法开发与验证；Shailendra Rahi：理论推导与可视化；Birupaksha Pal：热力学指导；Manish Agrawal：跨学科框架设计

Declaration of competing interest

作者声明无利益冲突