基于隐式Runge-Kutta方法的生物系统动力学方程稀疏识别新框架

本研究针对传统SINDy方法在数据稀缺和噪声条件下因依赖精确导数近似而失效的问题，创新性地将A-稳定的隐式Runge-Kutta(IRK)方法与稀疏回归相结合，提出IRK-SINDy框架。通过两种实现路径——非线性方程迭代求解和深度神经网络预测，成功实现了对线性/非线性振荡器、Lorenz系统及捕食者-猎物模型等生物动力学的鲁棒性方程发现，为复杂生物系统的可解释建模提供了新范式。

　　

在生物系统和物理过程的建模中，从观测数据中发现支配方程始终是跨学科挑战。传统基于稀疏识别非线性动力学(SINDy)的方法严重依赖导数近似，对数据稀缺和噪声极为敏感。尤其对于生物振荡系统（如神经元动作电位）、种群动力学（如肿瘤-免疫相互作用）等复杂过程，现有方法难以在有限数据条件下获得可解释的数学模型。

为解决这一瓶颈，Mehrdad Anvari团队在《Scientific Reports》发表研究，开创性地将具有A-稳定特性的隐式Runge-Kutta(IRK)方法与稀疏回归相结合。该方法利用IRK方法不受步长限制的优势，通过两种创新路径实现：1）基于牛顿迭代的非线性方程组求解；2）利用深度神经网络预测IRK的阶段值。在技术方法上，研究采用高斯IRK方法（最高500阶段）、Adam优化器和PyTorch框架，针对线性/非线性阻尼振荡器、Lorenz吸引子、FitzHugh-Nagumo(FHN)神经元模型等基准问题，通过Savitzky-Golay滤波预处理噪声数据，采用SIREN周期激活函数处理振荡信号，最终通过序列阈值化获得稀疏系数矩阵。

研究结果显示：

1. 1.

   线性阻尼振荡器：在仅31个数据点(m=31)的极端稀缺条件下，IRK-SINDy仍能准确识别x˙₁(t)=?0.102x₁(t)+2.009x₂(t)等方程，显著优于传统SINDy（需801个点）。

1. 1.

   FitzHugh-Nagumo模型：采用3层32神经元SIREN网络，在长时程(t∈[0,200])预测中成功捕获神经元电活动的周期性振荡，方程识别准确率比RK4-SINDy提升300%。

2. 2.

   捕食者-猎物模型：对Lotka-Volterra系统u˙(t)=32u(t)?34u(t)v(t)的识别显示，在m=51时仍保持90%以上的参数精度，为肿瘤-免疫相互作用建模提供新工具。

该研究的突破性在于：首次将A-稳定数值方法与稀疏回归结合，解决了生物系统建模中数据稀缺和噪声敏感的核心难题。提出的深度IRK-SINDy框架通过神经网络学习IRK阶段值，将计算复杂度从指数级降至线性级，为肿瘤生长动力学、免疫系统建模等生物医学问题提供了可解释的数学建模工具。未来可进一步拓展至偏微分方程识别和参数化系统发现，推动计算生物学的发展。