基于可微分编程的通用浅水方程在流阻科学机器学习中的应用研究

这篇综述创新性地提出将神经网络（NN）与物理驱动的浅水方程（SWEs）相结合，构建通用浅水方程（USWEs）求解器Hydrograd，通过可微分编程实现流阻参数（如Manning系数n）的自动反演和物理规律发现。该框架突破传统水文模型依赖经验公式的局限，支持自动微分（AD）的梯度敏感度分析，并首次实现二维SWEs求解器与NN的无缝融合，为水动力学中复杂逆问题和未知物理机制的探索提供了新范式。

　　

摘要

研究团队开发了基于可微分编程的通用浅水方程（USWEs）求解器Hydrograd，通过融合神经网络（NN）与传统二维浅水方程（2D SWEs），实现了流阻参数的高效反演和物理规律发现。该框架采用Julia语言构建，支持自动微分（AD）的梯度计算，显著提升了Manning粗糙度系数n的时空变异性建模能力。

1 引言

水动力学模型中流阻参数的准确表征一直是领域难题。传统Manning系数n依赖经验公式或人工判断，而USWEs通过嵌入式NN学习n与水深h、流速v、床面粗糙度k_s的复杂关系。区别于代理模型，Hydrograd直接以2D SWEs为物理内核，避免了数据密集型预训练，在样本外场景中展现出卓越的泛化能力。

2 方法论

2.1 Hydrograd架构

该求解器采用模块化设计，包含核心组件、应用模块和工具库三部分，支持非结构化网格有限体积法（FVM）离散。通过SciML生态系统集成Roe黎曼求解器和Tsitouras 5/4龙格-库塔法，确保数值稳定性。

2.2 流阻物理建模

提出两类流阻公式：

1. 1.

   基于水深的Sigmoid函数：n(h)=n_min+(n_max-n_min)/[1+exp(-k(h-h₀))]

2. 2.

   Cheng统一显式公式计算Darcy-Weisbach摩擦系数f，关联雷诺数Re和相对粗糙度k_s/h

2.3 反演算法

采用Tikhonov正则化约束损失函数：

L=||U_pred-U_obs||₂+λ||?n||₂

通过前向模式AD计算雅可比矩阵?U/?n，结合ADAM优化器实现高效参数更新。

3 应用验证

3.1 经典算例验证

1D溃坝算例中，WSE模拟结果与SRH-2D和解析解误差<1%，验证了求解器精度。

3.2 Savannah河案例

• •

  敏感度分析：揭示n对流速场影响的区域差异性，主河道区?u/?n达0.3 m/s·s/m

• •

  参数反演：5个粗糙度分区n值经300次迭代收敛，RMSE降至10^-7量级

• •

  物理发现：NN成功学习f(Re,k_s/h)关系，在10³<>⁵区间预测误差<3%

4 讨论

相比物理信息神经网络（PINNs），USWEs保留了传统数值求解器的严格物理约束，避免了代理模型的精度损失。当前限制在于显式格式导致的时间步长约束，未来将通过隐式格式和伴随法AD突破计算瓶颈。该技术为流域尺度流阻规律挖掘提供了新工具。

5 结论

研究证实可微分SWEs求解器能有效融合数据驱动与机理模型优势。通过NN嵌入实现了流阻物理的自动化发现，为水文模型参数化提供了可解释、可扩展的新框架，推动水动力学建模进入"物理引导机器学习"新时代。