基于数据驱动测度选择的加权函数线性模型：提升预测性能与无限域适应性

这篇综述创新性地提出了一种加权函数线性模型（wFLM），通过数据自适应测度选择重构L2空间的内积结构，突破了传统函数数据分析（FDA）中勒贝格测度的局限性。该方法在有限/无限域场景下显著提升了函数主成分分析（FPCA）的表示效率，并通过COVID-19和NHANES数据验证了其优越的预测性能，为函数型数据建模提供了更灵活的框架。

　　

方法论

本节介绍加权函数主成分分析（wFPCA）及其衍生的加权函数线性模型（wFLM）。通过重构L²空间的内积定义，我们建立了一个基于广义测度的函数数据分析框架。

选择函数线性模型的权重函数

当权重函数w未知时，我们提出通过最小化交叉验证误差（CVE）进行数据驱动选择：

w* = argmin_w∈W CVE(w) = argmin_w∈W (1/n)∑_i=1ⁿ(Y_i - ?_i,M^(-i))²

其中?_i,M^(-i) = μ?_Y^(-i) + ∑_k=1^Mβ?_k^(-i)ξ?_i,Zk^(-i)为留一法预测值，β?_k^(-i) = σ?_kY^(-i)/ρ?_wk^(-i)。

模拟研究：T=[0,1]区间

我们在两种测度（勒贝格测度与阶梯函数近似最优测度）下进行模拟，包含Q=1000次蒙特卡洛实验。设置12种参数组合（样本量n=50/100/200/500），评估不同测量密度下的预测表现。

COVID-19新增病例预测

采用约翰霍普金斯大学CSSE的公开数据，将各国每日确诊病例转化为函数型数据。通过加权方法处理疫情曲线的时空异质性，显著提升了对未来病例数的预测精度。

讨论

本研究突破性地将加权测度引入函数线性模型，通过强调功能域的关键区域优化了系数函数表示。该方法不仅解决了无限域中L²(T)空间的局限性，还为非均匀重要性的功能数据提供了新的分析范式。