基于物理信息神经网络(PINNs)的二维浅水方程求解：地形与降雨源项耦合下的洪水模拟新方法

这篇研究创新性地将物理信息神经网络(PINNs)应用于求解含地形和降雨源项的二维浅水方程(SWE)，通过维度变换和神经元自适应激活函数(N-LAAF)技术验证了该方法在复杂自由表面流模拟中的有效性。研究首次系统比较了SWE的原始形式、守恒形式及混合原始-守恒形式在PINNs框架下的性能，发现混合形式具有最优表现；意外发现能量守恒定律(熵条件)的引入会因质量守恒的过加权导致训练失稳。作者团队在PINNacle平台开发了开源模块，包含11个典型案例和多种方程形式，为洪水预测提供了新型混合建模工具。

　　

方法创新与验证

研究团队采用物理信息神经网络(PINNs)这一新兴方法求解二维浅水方程(SWE)，针对传统数值方法在洪水模拟中面临的挑战，提出了融合维度变换和神经元自适应激活函数(N-LAAF)的增强型PINNs架构。通过理论推导发现，浅水方程的混合原始-守恒形式在PINNs框架下展现出独特优势——其损失函数中的矩阵A能自动实现特征场的梯度加权，这种源自守恒定律的天然权重分配机制显著提升了优化效果。

地形与降雨耦合模拟

在静态水案例中，PINNs成功解决了"well-balanced"难题，对凸起(sB1)、凹陷(sD2)和潮汐地形(sT3)的模拟误差低至10^-4-10^-5m量级。引入芝加哥雨型设计的降雨案例(sFR4-sTR7)更显示，PINNs能精确捕捉累积降雨量与水位升高的线性关系，且误差呈现"中间高两端低"的雨强依赖分布，与传统数值方法的时间累积误差模式形成鲜明对比。

动态问题求解突破

在伪二维溃坝问题(dDB8)中，混合原始-守恒形式PINNs的近似解优于一阶HLL格式数值解，而原始形式则出现速度场显著偏差。令人意外的是，熵稳定性条件的引入导致过平滑现象，在圆形溃坝案例(dCDB9)中更引发对称性破缺。潮汐问题(dT10/dTR11)的模拟证实，PINNs能准确再现地形驱动的水流汇聚现象，水量守恒误差控制在毫米级。

平台建设与工程启示

研究团队在PINNacle平台构建的开源模块集成HLL格式和熵稳定格式(ES1)两种数值验证器，为后续研究提供标准化测试环境。尽管当前PINNs在长期大尺度洪水预测中仍面临计算成本高、稳定性差等挑战，但该工作证实了其在处理复杂地形-降雨耦合问题上的独特价值，特别是混合原始-守恒形式的自动加权机制，为发展新型自适应加权算法提供了理论依据。

应用前景展望

这项研究不仅建立了PINNs求解含源项SWE的方法学框架，更通过大量案例揭示了神经网络与物理方程融合的深层规律。未来可通过地形梯度加权矩阵等创新设计，进一步提升对陡坡地形的模拟精度，而初始条件误差传播规律的研究则为时间步进策略优化指明了方向。这项工作为智能计算与物理模型的深度耦合提供了重要范式。