明渠淹没障碍物统一水流阻力公式的建立与验证：基于三维河床高程标准差(σz,bed)的创新研究

本文推荐了一项关于明渠水流阻力预测的重要研究，作者通过水槽实验和现有数据集，系统评估了三种河床粗糙度度量指标（D84、σz,centerline和σz,bed）在不同类型淹没障碍物（天然巨石、堰、原木堵塞物、横向石块等）条件下的性能。研究发现，基于全河床高程标准差(σz,bed)的阻力公式(VPE)展现出最优且一致的流速预测能力，有效克服了传统方法对障碍物类型的依赖性，为洪水预报与控制提供了统一框架。

　　

引言

流速预测是水力学科学与工程的基础课题。含有河道障碍物的河流中流速预测尤为困难，这源于不规则边界与湍流之间复杂的相互作用关系。目前最常用的水流阻力方程包括Chezy公式、Manning公式和Darcy-Weisbach方程。其中，Darcy-Weisbach摩擦因子因其无量纲特性和明确的阻力系数物理意义而被广泛用于水流阻力研究。

Darcy-Weisbach阻力关系可按函数形式分为对数律关系和幂律关系。Keulegan最早通过假设整个垂向流速剖面遵循对数分布，提出了对数律阻力关系，随后Rouse、Hey以及Smart和Jaeggi等人进一步推动了该关系的发展，融入了颗粒非均质性和河道坡度的影响。然而，该关系通常在深水流中有效，而在浅水流中效果较差。幂律阻力关系则由Strickler首次推导，通过将Manning系数n与特征粒径D₆₅的1/6次方相关联（即Manning-Strickler方程）。但许多研究表明，Manning-Strickler方程仅在深水流（d/k > 10）中表现良好，此种情况下幂律关系本质上与对数律关系形式相同。在湍流未充分发展的浅水流（d/k < 10）中，研究发现混合长度与k成比例，整体阻力遵循粗糙层关系(8/f)^1/2 ∝ d/k。Ferguson提出了一个结合了粗糙层关系和Manning-Strickler方程的可变功率方程(VPE)。此后，VPE被证明是在整个相对淹没度范围内预测砾石河床流速的稳健方法。

现有的水流阻力公式主要针对天然河道设计并适用，这些河道的流动阻力主要来自床面颗粒（沙、砾石）的粗糙度和床面形态。而包括天然屏障（如植被、原木堵塞物和冲积巨石）以及工程结构（如堰和横向石块）在内的水力障碍物所产生的阻力仅以特定类型的方式被考虑。这部分是因为这些水力障碍物在河段内不同空间尺度上产生了复杂的二至三维湍流模式，其受多种因素影响，包括障碍物形状、渗透性和空间排列方式，使得建立精确的整体流动阻力关系变得困难。

近年来河道床面地形测量技术的进步为寻找这一统一度量指标带来了曙光。如今可以获得精确的三维河床高程，以准确确定床面粗糙度高度，进而确定水流阻力。特别是，河床高程的标准差σ_z已被证明是比特征粒径D₈₄更好的床面粗糙度高度度量指标，因为它可以描述大规模河床形态引起的形态阻力。然而，当前的研究主要基于河流床面最深点线或中心线的二维表征（σ_z,centerline），并未考虑床面地形三维性对阻力的影响。冲积河道中河床高程的均质性允许通过σ_z,centerline可靠地估算床面粗糙度特征。然而，在工程河道中，障碍物的放置方式不一定是均匀的。实际上，工程障碍物的有序样式通常产生不同于冲积河道床面的床面非均质性。因此，迄今为止，整个河道床面的高程统计如何影响阻力计算尚不清楚，这个问题对于河道内障碍物的阻力尤为突出，因为它们通常表现出显著的三维特征，难以通过基于一维（点粗糙度）或二维（线粗糙度）床面地形的度量指标来考量。

方法

实验设置与设计

实验在一个长18米、宽0.8米、坡降0.5%的水槽中进行。一段12米长的水槽部分填充了8厘米深的砾石层，其D₈₄为4厘米。流量条件和床面粗糙度在一个10米长的砾石床段上进行测量，排除了上下游各1米以规避边界效应。由于高宽深比（整个实验过程中约为8）、高床面粗糙度和低边壁粗糙度（玻璃边壁），边壁对断面平均水流阻力的影响假定很小。

实验设计了四种常见于天然河流中的水工结构类型（巨石、横向石块、堰和原木堵塞物）来布置床面，以研究不同障碍物对水流阻力的影响和变化。这些结构的选择不仅因为它们在天然河流中普遍存在，还因为它们涵盖了工程（横向石块和堰）和天然（巨石和原木堵塞物）河道内障碍物。

总共实验包括了44种床面粗糙度配置条件，对应不同类型和密度的障碍物。每种床面粗糙度配置使用四种流量（21、19、16和13 L/s）以产生四种相对淹没度条件，最终在实验期间总共进行了176次流量测量。用于流量采样的流量（21、19、16和13 L/s）小于用于生成 armor 层床面的流量（25 L/s），以避免在流量测量期间发生泥沙输移。总体而言，水流深度范围从55到133毫米，弗劳德数范围从0.17到0.33，相对淹没度d/σ_z,centerline范围从2.7到13.1。

数据采集与不确定性

流量Q通过安装在水槽上游端的电磁流量计测量，精度为±0.01 L/s，水槽固定宽度w = 0.8米。为测量水面（WS）剖面，一个精度为±0.001米的点规被部署在渠道中心线上21个等间距的位置，间距为0.5米。0.5米的采样间隔足以捕捉主要的水面波动，并且足以计算10米长研究区域的断面平均水流深度d。对于每个流量采样位置，测量一个平均水面高程以克服水面的波动。进而，断面平均流速基于连续定理U = Q/w/d计算。由于流动是局部非均匀的，如许多先前研究建议，使用断面平均水力半径R（过水断面面积与湿周之比）来研究水流阻力。坡度S计算为水面比降。

床面高分辨率拓扑和颗粒粒度分布是在每次水流事件后床面变干时立即测量的。一个固定在水槽正上方推车上的相机用于通过对渠道进行拍摄来获取河床的高分辨率照片。应用投影方法将原始照片转换为正射影像并将像素位置与实际距离关联起来。将正射影像输入到一个颗粒粒度测量模型GrainID中，以计算床面上的特征颗粒粒径D₈₄。GrainID已被证明是一个精确的测量颗粒粒度的模型，与基于砾石床水槽数据的筛分方法相比，误差小于10%。一个三维地面激光扫描仪（TLS; RIEGL VZ1000）被安置在渠道上方，以大约1毫米的空间分辨率测量渠道床面高程。TLS已被广泛用作许多先前研究中河床地形测量的高效工具。TLS以相等的角分辨率对渠道床面高程进行采样。我们使用自然邻域径向点插值法对原始高程样本在0.005米的空间分辨率下重新采样，并构建数字高程模型（DEM）。为最小化水槽边壁玻璃对激光的影响，DEM模型每边岸壁2厘米的区域被删除。最终，为每种障碍物配置生成了一个空间分辨率为0.005米、覆盖0.76 × 10 平方米渠道床面的DEM。对DEM进行线性去趋势，之后基于去趋势后的DEM或其中心线计算垂直粗糙度σ_z,centerline和σ_z,bed。

编译的数据集

除了实验获得的数据，我们还编译了来自具有各种床面形态的河道和具有刚性植被的河道的现有数据集，以确认我们的水流阻力模型在各种河床中的有效性。床面形态数据集包含了来自水槽实验和野外调查的数据。水槽数据包括221个来自具有riffle-pool序列的砾石床河道的详细水流动力学和床面地形观测，以及具有step-pool形态的数据。野外调查是在包含大型木质碎片的step-pool河段进行的，其中大型木质碎片增加了床面粗糙度的非均质性并引入了额外的形态阻力。

植被数据集包括来自9个具有淹没刚性植被的水槽实验的265个水流和床面地形测量值。每个数据样本都有详细的水流特性、植被浓度、植被高度和床面条件测量。参考床面水平设置为原始床面高程的纵向线性趋势。

由于实验植被是刚性淹没圆柱体，推导出了σ_z与植被浓度C和植被高度H之间的显式关系。假设床面高程Z是一个随机变量（一维或二维），给定植被茎杆是刚性淹没圆柱体，Z只有两个值：0和H。Z取值的概率P由植被浓度C决定，其中P (Z = H) = C 且 P (Z = 0) = 1–C。Z的期望是E(Z) = C * H。Z的二阶统计矩值E(Z²)是E(Z²) = C * H²。因此，Z的标准差是σ_z = H * sqrt(C(1 - C))。根据方程6，为植被数据集计算了σ_z,centerline和σ_z,bed。整个数据集总共包含来自不同水流和河道内障碍物条件的793次测量，其渠道坡度从0.02到0.2，水流宽度从0.20到4.0米，水流深度从0.03到0.26米，相对淹没度d/σ_z,bed从3.0到38.9。

水流阻力建模

采用Ferguson提出的可变功率方程（VPE）方法进行水流阻力建模。可变功率方程能够预测整个相对淹没度范围（d/k从0.1到100以上）内的水流阻力，并且已被许多先前研究证明是水流阻力预测的稳健方法。

总共比较了五个VPE阻力方程，对应不同的床面粗糙度度量，包括两个已发布的方程和三个基于本研究数据集以D₈₄、σ_z,centerline和σ_z,bed作为床面粗糙度分别开发的方程。选择Ferguson和Chen等人的方程是因为它们是基于覆盖广泛天然床面粗糙度和水流条件的数据集开发的。Ferguson方程使用D₈₄作为代表性床面粗糙度k。Chen等人方程采用σ_z,centerline作为k。

整个数据集（我们的实验、床面形态和植被数据集）被用于开发水流阻力方程。使用普通非线性最小二乘回归方法进行方程校准，该方法最小化U的均方根误差（rmse）以拟合关系（U_p和U_m是预测和测量的流速值）。分别以D₈₄、σ_z,centerline和σ_z,bed作为床面粗糙度校准的阻力方程如图所示。

为了评估模型的可预测性，使用了3折交叉验证。将数据库平均分为三个子集。每次使用两个子集进行训练，一个用于评估。重复此过程三次，确保每个子集都有机会作为测试集。最后，取三个测试结果的平均误差值进行评估。采用两个流速预测误差度量：rmse和差异水平（dl）。差异水平计算为预测值中差异比（Ar = U_p/U_m）大于1.5或小于0.5的比例。rmse量化了绝对流速预测的不确定性，dl表征了数据点的分散程度。

结果

粗糙度度量指标D₈₄、σ_z,centerline和σ_z,bed的比较

当D₈₄被用作床面粗糙度k时，数据点表现出很大程度的分散，并且很大程度上偏离了Ferguson的预测。当k等于σ_z,centerline时，Chen等人的预测遵循了数据的整体趋势，但数据点表现出很大程度的分散。当σ_z,bed被用作粗糙度度量时，数据更紧密地围绕在预测曲线周围。总体而言，视觉评估表明σ_z,bed作为床面粗糙度度量具有最佳性能。

通过3折交叉验证获得的以D₈₄、σ_z,centerline和σ_z,bed作为床面粗糙度度量的rmse、dl和R2值如图所示。其中，σ_z,bed在表征床面粗糙度方面表现出最佳性能， evidenced by the highest R2 value and the lowest rmse and dl values。相比之下，D₈₄表现出最低的R2值以及最高的rmse和dl值。σ_z,centerline在所有三个度量方面的性能处于中间范围。

对预测能力的影响因素

将分散的数据根据障碍物类型、堰特性、横向石块分布和植被浓度进行分组，以研究这些因素对流速预测能力的影响。

障碍物类型

为了评估各种河道内障碍物对流速预测精度的影响，将数据散点分为六个不同的子集，每个子集与特定类型的障碍物相关联：巨石、堰、原木堵塞物、横向石块、淹没刚性植被以及阶梯-深潭和浅滩-深潭结构。当k = D₈₄时，所有障碍物的数据点 consistently show a large deviation from the fitted curve。当k = σ_z,centerline时，每种类型障碍物的数据表现出相当大的变异性， although appearing tighter than those based on k = D₈₄。阶梯-深潭、浅滩-深潭和巨石障碍物的数据紧密分布在方程预测周围。相比之下，淹没刚性植被和横向石块的数据表现出更大的分散性。当σ_z,bed被用作k时，原木堵塞物和横向石块的数据显示出与方程预测曲线一致的偏离，系统地聚集在其上方。阶梯-深潭和浅滩-潭河道的数据以及与淹没刚性植被相关的数据比其他方程的分散性要小得多。其余数据的分布与k设为σ_z,centerline时的图相似。

与方程10-12相关的每个障碍物子集的预测不确定性如表所示。总体而言，三个阻力方程在 populated with boulders and transverse stones 的河道中表现出相似的低预测不确定性，而在 those with log jams 中表现出中等误差。然而，方程10在具有堰的河道中表现出比方程11和12高得多的rmse和差异水平（rmse = 0.36, dl = 1），预测流速与观测值偏差超过±50%。在具有淹没刚性植被的河道中，方程12在rmse和dl方面显著优于方程11。在阶梯-深潭和浅滩-深潭河道中，方程10产生最高的预测不确定性，而方程12以最低的差异水平优于方程11，表明对观测数据无偏。

植被浓度

为了检查植被浓度对流速预测的影响，将植被数据集根据植被浓度分为三组：浓度小于1%、浓度在1%到5%之间以及浓度大于5%，其中分组参考了许多先前水槽实验的浓度分类。植被浓度定义为被植被遮挡的河床面积相对于总河床面积的比例。如表所示，方程12对所有植被浓度都表现出比方程11更低的预测不确定性，这在 high vegetation concentrations 时尤为明显。与方程11相比，方程12的差异水平（dl = 0.13）显著降低。当比较两个方程在不同植被浓度下的性能时，方程11和方程12在植被浓度 below 1% 时表现出最高的预测不确定性。相反，当浓度范围在1%到5%之间时，它们表现出最低的预测不确定性。这些发现表明，当植被浓度异常高或非常低时，流速预测的可靠性会下降。

堰的形状和密度

将堰数据集分为宽堰子集和窄堰子集，以研究形状对流速预测的影响。图描绘了宽堰和窄堰的散点图。窄堰的数据点 consistently positioned below the prediction curve for all three equations，而宽堰的散点在σ_z,centerline和σ_z,bed被用作床面粗糙度度量时位于预测曲线附近。如表所示，当D₈₄被用作粗糙度度量时，方程7对宽堰和窄堰都显示出相似的高预测不确定性。对于σ_z,centerline和σ_z,bed作为床面粗糙度度量，校准后的方程（方程11和12）对宽堰表现出显著较低的预测不确定性， contrasted with higher errors for narrow weirs。值得注意的是，差异水平从0.08上升到0.50，当从宽堰条件过渡到窄堰条件时，表明这两种配置之间的阻力存在显著差异。

为了研究堰浓度对流速预测的影响，将堰数据集分为三个子集，分别对应研究河段内四个、两个和一个堰。如表所示，当D₈₄被用作粗糙度度量时，方程10对所有堰浓度都显示出相似的高预测不确定性。对于σ_z,centerline和σ_z,bed作为床面粗糙度度量，流速预测的不确定性随着河道内堰数量的增加而减少。校准后的方程（方程11和12）对具有四个堰的河道表现出明显最低的预测不确定性，对具有两个堰的河道表现出中等误差，对仅有一个堰的河道表现出最高误差。

原木堵塞物数量和原木浓度

将数据集根据研究河段内出现一个、两个或三个原木堵塞物进行分类，以调查原木堵塞物对流速预测的影响。表显示，所有三个校准方程（方程10-12）在单个原木堵塞物的情况下都表现出显著更高的预测不确定性， contrasted with the lower uncertainties in the case of multiple log jams (either two or three) in the channel。

为了检查原木数量对流速预测的影响，将数据集根据原木浓度（单位宽度的原木质量）分为三组：35、26.25和17.5 kg/m。图描绘了原木浓度为35、26.25和17.5 kg/m的散点图。在图a中，三个原木浓度组的数据点 collapse。在图b和c（k = σ_z,centerline和σ_z,bed）中，35 kg/m的数据点 consistently positioned above the prediction curves of Equations 11 and 12。表显示了不同原木浓度组的预测误差。当D₈₄被用作粗糙度度量时，方程10在不同原木浓度下产生低预测不确定性，除了17.5 kg/m原木浓度的差异水平为0.33。对于σ_z,centerline和σ_z,bed作为床面粗糙度度量，方程11和方程12都对26.25和17.5 kg/m的原木浓度显示出最小的预测不确定性，但对35 kg/m的浓度显示出更高的误差。重要的是，差异水平从0飙升到0.42，随着原木浓度从17.5 kg/m上升到35 kg/m，表明在 higher log concentrations 时预测不确定性大幅增加。

横向石块的配置和浓度

将横向石块结构的数据集根据单排和双排配置进行分类，以检查不同石块布置对流速预测的影响。表显示， across all measures of bed roughness，双排结构比单排结构表现出稍高的预测不确定性。此外，数据集还根据行结构的数量进行分层，以评估结构浓度对流速预测的影响。研究结果表明，三个校准方程在具有一个、两个或四个横向石块结构的河道中 consistently yield low prediction uncertainties，在单结构情况下误差略有增加。因此，横向石块结构的配置和浓度对流速预测的影响似乎是次要的。

讨论

不同河道内障碍物类型水流阻力的统一

本研究评估了断面尺度的平均水流阻力。广泛认为，水流阻力由表面剪切力和压力（差）力产生。剪切力引起表面摩擦，而压力力包括形态阻力和溢流阻力。在陡峭的源头河道（坡度>0.03）中，来自水跃的溢流阻力是阻力的关键来源，因为水流在超临界和亚临界状态之间快速交替。在具有河道内障碍物的较低坡度河道中，形态阻力起主要作用；然而，什么度量最能代表产生形态阻力的粗糙度特征仍然存在争议。基于大涡模拟，Chen等人发现σ_z在估算山区河道的水力粗糙度方面优于D₈₄。Qin和Ng表明，使用k-ε模型，σ_z比颗粒粒度更好地描述了粗糙度。随着高分辨率床面地形数据积累的增加，我们编译了一个数据库，包括新的实验和先前带有障碍物的水槽实验，以测试和比较三种床面粗糙度度量D₈₄、σ_z,centerline和σ_z,bed。这三种粗糙度度量表现出一定程度的相关性，并且通过了显著性检验，p值小于0.05。然而，不同度量和不同障碍物之间的Pearson相关系数存在显著差异。D₈₄和σ_z,centerline之间存在高度相关性（r? = 0.63），σ_z,centerline和σ_z,bed之间也存在高度相关性（r? = 0.70），而D₈₄和σ_z,bed之间的相关性为中等（r? = 0.42）。这些相关性在不同的障碍物数据集之间明显不同。在床面形态数据集（阶梯-深潭和浅滩-深潭）中，所有相关性都很高。在巨石数据集中，σ_z,centerline与σ_z,bed（r?）的相关性较低， compared to r? and r?。相反，原木堵塞物和堰数据集显示出高r?但低r?和r?。横向石块数据集的所有三个系数都具有高相关值，而植被数据集具有高r?但低r?和r?。这突出了在科学研究中分析这些相关性时考虑数据集类型的关键必要性。

D₈₄是砾石床河流中最广泛使用的床面粗糙度度量之一。如图所示，当床面粗糙度高度k = D₈₄时，数据很大程度上偏离了Ferguson的公式。然而，这个结果并不令人惊讶，因为D₈₄仅表征颗粒尺度的床面粗糙度，无法描述河道内障碍物的水流阻力。Ferguson在具有巨石的河道中表现良好，因为巨石尺寸被考虑在D₈₄中。在许多地方，河道内障碍物的尺寸可能比床面颗粒大几个数量级；因此，使用特征颗粒粒度作为床面粗糙度是不适应的。

Chen等人表明，基于综合数据集，σ_z,centerline（床面中心线高程的标准差）是比D₈₄更好的砾石床河流床面粗糙度度量，因为σ_z,centerline提供了由各种冲积河道形态引起的床面粗糙度的更详细表征。然而，σ_z,centerline无法描述具有横向石块和植被的河道中的水流阻力，因为基于测深线的粗糙度无法表征横向方向的粗糙度非均质性，即河道粗糙度的三维性。

我们的分析表明，σ_z,bed（整个床面高程的标准差）显示出 overall best performance compared with D₈₄ and σ_z,centerline，很好地统一了不同障碍物类型的水流阻力。这可能是因为3D σ_z,bed本质上比基于点的D₈₄和基于线的σ_z,centerline包含更多关于粗糙边界的信息，并且非常适合于在横向方向具有显著非均质性的床面，即粗糙度的三维性。在先前的研究中，不清楚应该使用什么标准差作为σ_z，在这里我们清楚地展示了3D σ_z,bed作为不同障碍物类型水流阻力的一般度量指标的有效性，而不是像σ_z,centerline这样的基于线的床面粗糙度度量。

不同障碍物水流阻力的相似性与差异性

如图所示，天然形成的障碍物（例如阶梯-深潭和浅滩-深潭）的数据与工程障碍物（例如横向石块）的数据系统地偏离， indicating the difference in resistance laws between the two types of obstacles when σ_z,centerline is used as roughness measure。在天然河流中，由水流过程形成的河床粗糙度表现出各向同性 properties。这意味着在相对平直的河段中，可以预期沿横向方向的粗糙度均匀性。这种各向同性，表明所有方向上的高程变化分布相对均匀，允许可靠地应用σ_z,centerline来代表床面粗糙度特征。然而，在具有工程障碍物的河流中，横向石块和恢复的植被通常以出现横向方向粗糙度非均质性的方式放置。因此，基于线的粗糙度不再代表整个床面的粗糙度。

当σ_z,bed被用作粗糙度度量时，堰、原木堵塞物和横向石块之间的阻力差异仍然可以在图中看到。具有原木堵塞物的河道显示出与具有堰的河道不同的流动阻力，其中方程12在原木堵塞物河道中显示出一致的阻力高估，但在具有堰的河道中低估了阻力。原木堵塞物和堰之间的区别在于它们的组成和孔隙率。原木堵塞物具有高孔隙率，因为它们是由堆积的原木碎片形成的，允许水流过它们。相比之下，堰几乎没有孔隙率，因为它们的设计目的是阻碍水流。在原木堵塞物河道中阻力的高估表明，当床面障碍物是可渗透的并且具有高孔隙率时，σ_z,bed高估了床面粗糙度，并且应考虑渗透性的影响以在未来开发更好的粗糙度度量。堰和原木堵塞物河道都表现出随着堰或原木堵塞物数量的增加，流速预测的不确定性降低。这与发现增加更多的堰或堵塞物结构减少了它们之间的间距，从而减轻了回水效应相一致。图还显示了方程12对横向石块阻力的系统高估。这可能是由于实验中使用的横向石块是由ABS塑料打印的标准圆柱体，其形状曲率和高表面光滑度抑制了湍流的发展，降低了流动阻力。

σ_z,bed基阻力方程在植被化水流中的评估

σ_z,bed度量也是评估植被化床面上水流阻力的便捷选择。在具有植被的河道中，水流阻力很大程度上受植被特性的影响，例如其刚性、柔韧性和淹没状态。对植被阻