基于网络聚合的大规模概率布尔网络全局稳定性分析及其在系统生物学中的应用

本文聚焦大规模概率布尔网络（LSPBNs）的稳定性分析难题，创新性地引入网络聚合方法，通过半张量积（STP）将复杂系统分解为多个子网络并建立迭代公式，显著降低了计算复杂度。研究首次提出了适用于任意聚合结构的全局稳定性充分条件，为系统生物学中基因调控网络（GRN）的动态分析提供了高效的理论工具，对疾病机制研究与细胞分化建模具有重要价值。

　　

Highlights

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  借助大规模概率布尔网络（LSPBNs）的网络聚合技术，构建了一套描述子网络间输入-输出协同关系的迭代公式，大幅降低了计算复杂度。

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  基于此提出系统全局稳定性的充分条件，该条件具有普适性，可验证任意聚合结构下的网络稳定性。

Section snippets

Preliminaries

为便于表述，先列出以下符号说明：

符号	定义
R	实数集
Rn	n维实向量集合
Rm×n	m×n实矩阵集合
Z+	正整数集
Col(M)	矩阵M的列集合
Coli(M)	矩阵M的第i列
Rowi(M)	矩阵M的第i行
D	{0,1}
δni	单位矩阵In的第i列
Δn	Col(In)
1n	长度为n的全1向量
(M)i,j	矩阵M的第(i,j)元素
	M
[a:b]	{x∈Z+

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  若矩阵L∈R_m×n的每一列均为标准基向量，则称L为逻辑矩阵，其集合记为L_m×n。

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  矩阵的半张量积（STP）记作?，允许不同维矩阵相乘。特别地，当n=t时STP退化为标准矩阵乘。

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  逻辑变量x∈D可通过双射1~δ₂¹和0~δ₂²转化为向量形式。

Problem Formulation

本文研究大规模概率布尔网络（LSPBN）的概率1稳定性。首先简要介绍四种布尔网络模型：

1) 模型1：考虑含n个状态节点的布尔网络（BN），其动力学描述为：

{x₁(t+1)=f₁(x₁(t),?,x_n(t)),

x₂(t+1)=f₂(x₁(t),?,x_n(t)),

?

x_n(t+1)=f_n(x₁(t),?,x_n(t))}

其中x_i∈D为状态变量，f_i:Dⁿ→D为布尔函数。令1~δ₂¹，0~δ₂²，根据引理3可得其代数表达式为：

x(t+1)=Px(t)

其中x(t)=?_i=1ⁿx_i(t)∈Δ_2ⁿ，x_i∈Δ₂为x_i的向量形式，P∈L为结构矩阵。

Stability of LSPBNs

本节深入研究LSPBNs的稳定性问题。

Conclusion

本文利用网络聚合方法研究LSPBNs的全局稳定性。首先通过半张量积（STP）方法给出了四种基本布尔网络的代数表达式；进而基于网络聚合构建了迭代公式，这些公式既表达了各子网络的动态演化，又隐含了子网络间的输入-输出协作关系；最终提出了系统全局稳定性的充分条件。