基于多节点Shepard有理插值方法实现不连续函数的高精度逼近

针对不连续函数逼近难题，研究人员提出一种基于多节点Shepard有理插值的新方法。通过构造覆盖不连续点的局部插值区间，结合加权有理函数设计，实现了对分段连续函数的高精度全局逼近。该方法在数学建模和科学计算中具有重要应用价值，为处理含间断点的复杂系统提供了有效工具。

　　

在科学与工程计算领域，函数逼近理论一直扮演着至关重要的角色。然而，当面对具有不连续特性的函数时，传统的插值方法往往表现出明显的局限性。不连续点处的数值振荡和精度丢失问题，成为制约数值模拟精度的重要因素。这类问题广泛存在于流体力学、材料科学和生物医学等领域的多物理场耦合模型中，其中界面效应、相变过程或突变现象都会引入函数间断特性。

为了突破这一技术瓶颈，研究人员在《Mathematics and Computers in Simulation》发表了创新性研究成果，提出了一种基于多节点Shepard有理插值的新型逼近方法。该方法通过系统分析不连续点分布特征，构建了特殊的区间覆盖结构，并引入可调节参数的有理函数权重系统，最终实现了对不连续函数的全局高精度逼近。

研究团队采用的关键技术方法包括：首先建立不连续点定位与分类系统，通过节点间距分析（h^max_Xn和h^min_Xn计算）确定最优区间划分策略；其次设计多节点Shepard函数权重分配机制，通过参数μ调控函数衰减特性；最后构建分段有理插值框架，确保在包含d+1个节点的每个子区间内实现局部逼近与全局光滑性的统一。

理论框架构建

研究首先从数学上严格定义了不连续点集S={s₁,...,s_m}对区间[a,b]的划分，将原区间分解为m+1个连续子区间I_?（?=0,...,m）。通过引入关键参数r₀=inf{r∈R₊:r≤h^min∧?x∈∪I_??I∈I_r,xs.t.card(I∩X_n)≥1}，确保了每个覆盖区间都包含足够多的节点以保证插值精度。

多节点Shepard函数设计

研究团队创新性地提出了基于多节点集的Shepard函数变体：

B_μ,ι(x)=∏_κ=1^K|x-ξ_κ^ι|^-μ/∑_τ=1^M∏_κ=1^K|x-ξ_κ^τ|^-μ

该函数具有C^∞光滑性、非负性、单位分解性等优良性质，且在每个子区间U_ι内快速衰减，有效避免了传统方法在区间重叠处出现的数值振荡。

逼近算子构造

通过将局部插值多项式p_ι(f,x)与Shepard权重函数结合，构建全局有理插值算子：

Q_μf=∑_ι=1^MB_μ,ι(x)p_ι(f,x)

该算子在保持局部插值精度的同时，通过权重函数的平滑过渡确保了全局连续性。理论分析表明，当节点密度足够大时，该算子对分段连续函数具有一致收敛性。

数值实验验证

研究以经典分段函数f(x)=χ_[0,1](x)为测试对象，在包含不连续点x=0的区间[-1,1]上进行了数值实验。当采用n=20个等距节点（包含10个负半轴节点和10个正半轴节点）时，新方法在远离不连续点区域展现出指数收敛特性，在间断点邻域内仍保持良好稳定性，显著优于传统多项式插值方法。

研究结论表明，这种基于多节点Shepard有理插值的函数逼近方法，有效解决了不连续函数数值处理中的关键难题。其创新性体现在三个方面：一是建立了不连续点自适应区间划分的理论框架；二是设计了具有局部支撑特性的有理权重函数；三是构建了兼顾精度与稳定性的复合插值策略。该研究成果为复杂系统数值模拟提供了新工具，在计算流体力学、结构力学和生物医学工程等领域具有广泛应用前景。特别值得指出的是，该方法无需预先知道不连续点的精确位置，通过节点数据自适应生成逼近格式，这在实际工程应用中具有显著优势。