基于结构保持LDG离散化的Fisher-Kolmogorov方程在神经退行性疾病建模中的应用与TFBM驱动的随机分数阶平均原理研究

本综述系统探讨了经调和分数布朗运动(TFBM)驱动的随机分数阶微分方程在双时间尺度马尔可夫切换下的动力学行为。研究突破了TFBM随机积分中的奇异性难题，建立了系统的有界性与连续性估计，并在Lipschitz条件下发展了平均原理，为复杂动力系统的理论分析与数值模拟提供了新工具。该模型在具有记忆效应和长期依赖性的系统预测中展现出强大分析能力，对神经退行性疾病等复杂生物系统的数学建模具有重要价值。

　　

Highlight

本研究探讨了TFBM驱动的随机分数阶微分方程在双时间尺度马尔可夫切换下的动力学行为，成功克服了TFBM随机积分的奇异性问题，建立了系统的有界性和连续性估计。在Lipschitz条件下，我们进一步发展了平均原理，为复杂动力系统的理论分析和数值模拟提供了新的数学工具。这些理论进展显著简化了复杂系统的分析，提高了问题解决的可行性和准确性。此外，双时间尺度马尔可夫切换模型在预测和管理具有记忆性和长期依赖性的复杂系统方面展现出强大的分析能力，证明了其在处理高动态系统中的巨大应用价值。

Section snippets

Preliminaries and assumptions

本节介绍了与TFBM和分数阶微分方程相关的定义和重要引理，为研究系统(1)的随机平均原理奠定了基础。

Several important estimates

本节提供了当α∈(-1/2,0)∪(0,1/2)且λ>0时，TFBM驱动的随机积分的有界性估计和模连续性估计。在给出这些估计的证明之前，我们建立以下假设：

(H)：在系统(1)中，函数ρ(t)满足以下条件：|ρ(t)|≤C(1+|t|^β)，其中β∈R，C和β是常数。

Lemma 2

对于任何p≥2和T>0，在假设条件(H)下，以下估计成立：

案例1：对于α∈(0,1/2)和λ>0，

[技术性估计公式]

Stochastic fractional differential equations driven by TFBM: two-time-scale Markovian switching within a single weakly irreducible class

假设r^?(t)是取值于有限状态空间S的连续时间马尔可夫链，其生成元由Q^?=Q?/?+Q?给出，其中Q?和Q?是马尔可夫链的适当生成元。这里Q?/?和Q?分别表示快变量和慢变量分量。假设生成元Q?是弱不可约的。平稳分布u^?=(u₁,u₂,…,u_n)，其中对每个m∈S有u_m^?≥0，通过求解以下线性系统确定：[数学表达式]

Stochastic fractional differential equations driven by TFBM: two-time-scales Markovian switching within multiple weakly irreducible classes

本节继续研究平均原理，特别是方程(45)。这里r^?(t)表示大状态空间S=S₁∪S₂∪?∪S_l，其中每个S_m={s_m1,…,s_{mn_i}}且n=n₁+n₂+?+n_l。生成元Q^?=(q_mj^?)_n×n定义为Q^?=Q?/?+Q?，其中Q?=(q?_mj)_n×n=diag(Q?₁,Q?₂,…,Q?_l)。对每个k∈{1,2,…,l}，Q?是不可约的。取值于S_k的马尔可夫链具有平稳分布，记为μ?_k=(μ_k1,μ_k2,…,μ_{kn_k})∈R^1×n_k，且Q?=(q?_mj)_n×n。我们聚合每个状态空间S_k的状态

Averaging principle for stochastic factional differential equations driven by a TFBM

本节讨论TFBM驱动的随机分数阶微分方程。特别地，我们关注当0<α<1 2且λ>0时的情况，由以下方程定义：[数学表达式]其中G?(x,m)=∑_m=1ⁿG(x,m)u_m^?，其中m表示马尔可夫链r^?(t)的状态，u^?是该状态对应的概率。状态空间S定义为{1,2,…,n}，函数G?(x,m)表示系统状态x的演化