阈值边界回归模型的高效估计算法：基于加权支持向量机（WSVM）与最小二乘法的迭代优化

本文提出一种创新的迭代两阶段算法（TBR-WSVM），用于估计阈值边界回归（Threshold Boundary Regression, TBR）模型。该算法将不可微的最小二乘（LS）问题转化为加权分类优化，结合加权支持向量机（WSVM）实现非线性边界的高效拟合，无需预设阈值参数或关键变量，显著提升了模型灵活性与计算效率，为时间序列与健康医学领域的样本分割问题提供了强大工具。

　　

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阈值边界回归模型（Threshold Boundary Regression Models）

考虑数据集 { (y_t, x_t) }，其中 t = 1, …, T，y_t 为响应变量，x_t 为 q×1 协变量向量。令 z_t = (1, y′_t-1, x′_t)′，其中 y_t-1 = (y_t-1, …, y_t-p)′，x_t = (x_t,1, …, x_t,q)′。定义函数 Φ: {1}×R^p+q → {1}×R^d（d ≥ p+q），将 z_t 映射到高维空间。TBR 模型可表述为：

y_t = h(z_t; θ_h) + { g(z_t; θ_g) ? h(z_t; θ_h) } I( Φ(z_t)′θ_b ≤ 0 ) + ?_t，

其中 h(·) 和 g(·) 为自回归函数，θ_h、θ_g、θ_b 为参数向量，I(·) 为示性函数，?_t 为误差项。

TBR模型估计算法（Algorithms for Estimating TBR Models）

基于真实模型 y_t = h(z_t; θ_h⁽⁰⁾) + { g(z_t; θ_g⁽⁰⁾) ? h(z_t; θ_h⁽⁰⁾) } I( Φ(z_t)′θ_b⁽⁰⁾ ≤ 0 ) + ?_t，提出两阶段估计流程：

Step 1. 通过最小二乘法（LS）获取初始参数估计 (θ?_h,0, θ?_g,0)。

Step 2. 将最小二乘损失优化问题转化为加权分类问题，利用加权支持向量机（WSVM）求解阈值边界参数 θ_b，并通过迭代更新状态标签与回归参数实现高效拟合。

模拟研究（Simulation Studies）

通过多组模拟实验评估TBR-WSVM算法在有限样本下的性能，并与Algorithm M（MCMC方法）和Algorithm MIQP（混合整数规划）对比。Algorithm M中设置 (B₁, B₂) = (2000, 100) 以平衡偏差与计算成本。所有对比算法均需预设参数范围与关键变量，而TBR-WSVM无需此类先验设定，在非线性边界与高维协变量场景中表现更优。

实际应用（Application）

将TBR模型应用于比利时2014–2019年电力负荷数据（来源：Elia电网公开平台）。原始数据为15分钟间隔负荷记录，经日聚合后生成每日平均负荷序列。与传统基于日历启发式（如工作日/假日）的分类方法不同，TBR-WSVM通过数据驱动方式挖掘潜在消费 regime，实现更精准的 regime 特异性预测。

讨论（Discussion）

本文深入探讨了TBR模型估计的复杂性，提出以WSVM为替代方法解决NP难分类问题，在保证理论收敛性的同时显著提升计算效率。该方法为时间序列分析、健康状态评估（如生物年龄阈值建模）等领域提供了灵活且可扩展的建模框架。