用于彩色图像重建和加密的拟四元数分数对偶-Hahn矩

《Knowledge-Based Systems》：Proposed quaternion fractional dual-Hahn moments for color image reconstruction and encryption

离散分数矩、四元数、图像加密、混沌系统、鲁棒性、双Hahn正交多项式、数值稳定性、颜色图像分析、加密方案、实验验证

　　这篇文章介绍了一种新的离散分数阶矩——四元数笛卡尔分数阶双Hahn矩（QCFrDHOMs），它基于经典的双Hahn正交多项式（DHOPs）的谱分解构建。QCFrDHOMs被设计用于颜色图像的高效分析，并结合混沌系统实现了一种稳健的颜色图像加密方案。文章的结构包括对双Hahn正交多项式和混沌系统的初步概念、分数阶双Hahn正交矩的改进计算方法、用于颜色图像分析的四元数分数阶双Hahn矩的提出以及基于这些矩的加密方案的设计与实验验证。

在图像分析领域，矩理论因其能够以紧凑且精确的方式表示关键的视觉信息而扮演着重要角色。正交矩因其能够生成独立且非冗余的描述符而受到高度重视，广泛应用于形状识别、图像重建、数据压缩、数字水印以及图像加密等任务。正交矩依赖于正交多项式作为基础函数，通常分为离散正交矩（DOM）和连续正交矩（COM）两大类。DOM来源于如切比雪夫、克劳特乔科、哈恩、查利、麦克斯纳、双哈恩和拉恰等多项式，而COM则基于如勒让德、切比雪夫-傅里叶、傅里叶-梅林、高斯-埃尔米特等多项式。

传统上，COM和DOM是基于整数阶计算的，但在实际应用中，为了更精确地定位图像中的特定区域，常常需要计算分数阶的矩。近年来，研究人员尝试将经典技术如离散余弦变换（DCT）和离散正弦变换（DST）扩展到分数阶，开发了新的变换如分数阶傅里叶变换（FrFT）、分数阶余弦和正弦变换（DFrCST）等。同时，连续分数阶矩的研究也取得了进展，包括基于傅里叶-梅林矩、勒让德多项式和分数阶三元矩的研究。这些研究表明，当分数阶调整为1时，可以实现最优性能，从而将传统的整数阶矩概念扩展到分数阶。

然而，在离散图像处理中，这些连续分数阶矩面临显著的挑战。由于图像数据本质上是离散的，它们的计算需要坐标调整和积分近似为求和。这些近似往往引入离散化和估计误差，使得它们在数值环境中直接应用变得困难。为了解决这些问题，研究人员转向离散分数阶矩，这些矩专门针对离散数据，同时保留了连续矩的特性。其中，分数阶克劳特乔科矩（FrKOMs）、分数阶哈恩矩（FrHOMs）和分数阶查利正交矩（FrCOMs）在图像数值处理中表现尤为突出。

文章的主要贡献包括以下几个方面：首先，改进了双Hahn正交多项式的递推公式，结合了一种通用的方法来计算初始项，从而扩展了该方法的应用范围，使其适用于双Hahn参数为实数或足够大的情况。其次，提出了一种新的离散分数阶正交矩——分数阶双Hahn正交矩（FrDHOMs），这些矩通过经典双Hahn正交多项式矩阵的谱分解构建而成。第三，基于四元数代数的特性，将FrDHOMs扩展到四元数域，定义了四元数笛卡尔分数阶双Hahn正交矩（QCFrDHOMs），这些矩能够以紧凑和统一的方式表示RGB颜色通道的信息。第四，设计了一种基于QCFrDHOMs的稳健颜色图像加密方案，该方案结合了超混沌系统，确保了高水平的安全性、强密钥敏感性和对常见攻击的增强抵抗能力。

在具体实施过程中，文章首先介绍了双Hahn正交多项式的基本概念，包括定义和符号。随后，提出了一个改进的计算方法，用于避免在计算高阶加权双Hahn正交多项式时出现的数值溢出问题。传统的计算方法依赖于递推公式，其中涉及的函数ρ(z)基于伽马函数，计算起来不仅耗时，而且容易导致数值波动。例如，在Matlab中，计算Γ(172)会导致无穷大（Inf）的结果。因此，提出了一种新的递推关系，用于计算初始项，从而克服了这一问题。这种改进的方法不仅提高了计算的稳定性，还确保了高阶多项式的处理效率。

接下来，文章提出了分数阶双Hahn正交矩（FrDHOMs），这是一种扩展的双Hahn正交矩，允许使用分数阶来描述图像。FrDHOMs在灰度图像处理中表现出了良好的性能，而QCFrDHOMs则进一步扩展了这一概念，适用于颜色图像分析。四元数代数在颜色图像处理中具有独特的价值，因为它能够以一种统一的方式表示颜色通道之间的关系。QCFrDHOMs利用四元数代数，实现了对颜色图像特征的紧凑和精确描述，为图像识别、图像安全和图像加密等应用提供了新的工具。

在加密方案的设计中，文章提出了一种基于QCFrDHOMs的稳健颜色图像加密方法。该方法结合了超混沌系统，确保了加密图像在解密后能够保持几乎完整的质量，同时显著增强了对各种攻击的抵抗能力。加密过程通过将图像转换为QCFrDHOMs进行处理，而解密过程则通过逆变换和混沌系统的反向操作来恢复原始图像。实验结果表明，该加密方案在安全性、密钥敏感性和抗攻击能力方面优于其他现有方法，为颜色图像的安全保护做出了重要贡献。

文章还讨论了QCFrDHOMs的计算方法，提供了一种高效的算法来计算这些矩。该算法基于改进的递推关系和谱分解定理，能够有效地处理高阶多项式，并避免数值不稳定问题。此外，文章还分析了QCFrDHOMs在颜色图像重建中的表现，确定了最优参数以确保高质量的重建效果。这些参数的选择基于对不同图像和不同分数阶的实验测试，确保了方法的适用性和有效性。

在实验验证部分，文章详细评估了基于QCFrDHOMs的加密方案的性能。测试包括对不同攻击类型的抵抗力分析，如统计攻击、差分攻击和噪声攻击等。结果表明，该加密方案在这些攻击下表现良好，能够有效保护图像信息，同时保持解密后的图像质量。此外，文章还对QCFrDHOMs在颜色图像分析中的应用进行了实验，展示了其在特征提取和图像重建中的优势。

文章的结论部分总结了主要贡献，并展望了未来的研究方向。作者强调了QCFrDHOMs在颜色图像分析和加密中的重要性，并指出该方法在实际应用中的潜力。未来的研究可以进一步探索QCFrDHOMs在更广泛的应用场景中的表现，包括实时图像处理和更复杂的加密系统设计。此外，还可以研究如何将QCFrDHOMs与其他图像处理技术相结合，以提升整体性能和安全性。

总的来说，这篇文章为颜色图像的分析和加密提供了一种新的方法，即QCFrDHOMs。该方法不仅解决了传统分数阶矩在离散图像处理中的稳定性问题，还通过四元数代数实现了对颜色图像特征的紧凑和统一表示。结合混沌系统的加密方案则进一步提升了图像的安全性，为实际应用提供了可靠的技术支持。文章的结构清晰，内容详实，为相关领域的研究者提供了有价值的参考。