通过状态空间建模对折纸动态的可控性进行分析

《Materials & Design》：Controllability analysis of origami dynamics via state-space modeling

本文通过将Miura-ori结构离散化为由粒子质量和铰链/杆单元组成的网络，建立状态空间模型，并基于可控性Gramian分析其控制特性。实验验证了在单、双及四单元配置中，利用该理论模型可高效识别最优折叠线位置，部署效率的理论预测与实测结果高度吻合，为复杂 origami 系统的主动控制提供了新方法。

　　在现代工程与科学领域，折纸结构因其独特的机械特性而备受关注。折纸结构不仅能够通过折叠实现形态变化，还具有高度的可调性，可以应用于空间工程、机器人技术以及生物医学等多个领域。然而，尽管折纸结构的研究取得了显著进展，其瞬态动力学和控制模型的构建仍然面临巨大挑战，这主要是由于其固有的柔性和变形能力。为了应对这一挑战，本文提出了一种基于状态空间表示的计算框架，用于分析折纸结构的可控性，并探索如何通过伺服电机实现高效的单个和多单元折纸结构展开。

### 折纸结构的可控性分析

折纸结构的可控性指的是在有限时间内，通过适当的控制输入，能够将结构从任意初始状态引导至目标状态的能力。为了研究这一特性，本文采用了一种基于可控性Gramian的方法，这是一种用于分析线性系统可控性的数学工具。通过将折纸系统离散化为一个由粒子质量、杆和铰链元素组成的网络，研究团队构建了一个状态空间表示，从而能够系统地评估不同折痕位置的可控性。这种方法的优势在于，它能够系统地分析输入对结构可控性的影响，同时具备计算效率高和不需要大量数据集的特点。

为了验证这一理论方法的有效性，研究团队在实验中使用了不锈钢折纸结构，通过测量伺服电机的输入扭矩和展开后的面积，评估了展开效率。实验结果表明，理论预测与实际测量之间存在良好的一致性，从而支持了该计算框架在复杂折纸结构控制中的应用潜力。这一发现不仅为折纸结构的高效展开提供了理论依据，也为未来在折纸基础上构建复杂控制系统的工程设计奠定了基础。

### 折纸结构的动态建模与分析

为了进一步分析折纸结构的动态行为，研究团队采用了“杆-铰链”模型，这是一种被广泛使用的简化机械模型，能够有效表示折纸结构的动态特性。在这一模型中，结构被离散化为多个节点和边，每个节点具有质量，而杆和铰链则分别表示结构的拉伸和弯曲特性。通过这种离散化方法，研究团队能够将复杂的折纸结构转化为一系列可计算的方程，从而系统地分析其动态响应。

在“杆-铰链”模型中，杆元素的刚度和铰链元素的刚度分别通过实验和理论方法获得。杆元素的刚度基于材料的杨氏模量和横截面积，而铰链元素的刚度则通过实验测试确定，特别是在非刚性结构的展开过程中，其刚度对结构的动态行为有重要影响。通过将这些参数整合到状态空间模型中，研究团队能够建立一个完整的动态系统模型，并基于此计算可控性Gramian，从而评估不同折痕位置对展开效率的影响。

此外，研究团队还通过Euler-Lagrange力学方法，对折纸结构的动态行为进行了物理解释。这一方法允许将折纸结构建模为一个单自由度系统，从而揭示不同折痕位置在动态行为中的作用。通过分析结构的动能和势能，研究团队能够预测在不同折痕位置施加的控制输入对展开效率的影响。结果表明，某些折痕位置在动态展开过程中表现出更高的效率，这一发现进一步支持了可控性Gramian方法在折纸结构控制中的应用价值。

### 实验验证与结果分析

为了验证理论模型的有效性，研究团队设计了一套实验，使用不锈钢材料制作折纸结构，并通过伺服电机进行展开。实验中，折纸结构的展开效率被定义为单位控制输入下结构展开面积的变化量。通过对不同折痕位置的展开进行测量，研究团队发现，某些折痕位置在展开过程中表现出了更高的效率，这一结果与理论预测一致。

在实验中，研究团队还考虑了不同尺寸的折纸结构，包括单单元、双单元和四单元的结构。对于这些结构，实验结果显示，结构的展开效率在不同折痕位置之间存在显著差异。例如，在四单元结构中，某些折痕对的组合表现出更高的展开效率，而某些相邻折痕的组合则效率较低。这一结果表明，折纸结构的展开效率不仅取决于单个折痕的位置，还受到多个折痕之间相互作用的影响。

为了进一步量化展开效率，研究团队引入了一个调整后的展开效率指标，该指标基于实验测量的展开面积与理论预测的展开面积之间的差异。通过这一调整，研究团队能够更准确地评估不同折痕位置在实际应用中的表现。实验结果表明，理论模型在预测展开效率方面具有较高的准确性，特别是在展开面积和控制输入之间的关系上。

### 折纸结构的可扩展性与未来展望

本文的研究不仅限于单个折纸单元的展开效率分析，还扩展到了更复杂的结构，如双单元和四单元的折纸结构。通过将这些结构的展开过程分解为多个线性段，研究团队能够系统地评估不同折痕位置在整体展开过程中的作用。这一方法的可扩展性使得研究团队能够将可控性分析应用于更大规模的折纸结构，为未来设计高效、复杂的折纸展开系统提供了理论支持。

此外，研究团队还探讨了如何在实际工程应用中进一步优化折纸结构的展开效率。例如，在航天工程中，折纸结构可以用于展开大型卫星组件；在机器人领域，折纸结构可以用于制造柔性机械臂；在生物医学领域，折纸结构可以用于开发可变形的医疗设备。通过结合可控性Gramian方法和物理建模，研究团队为这些应用提供了理论依据和技术支持。

### 结论

综上所述，本文提出了一种基于可控性Gramian的计算框架，用于分析折纸结构的动态可控性，并探索如何通过伺服电机实现高效的展开。研究团队通过理论建模和实验验证，展示了该框架在不同折纸结构中的有效性，并为未来在更复杂和更大规模的折纸结构中应用这一方法提供了方向。通过结合动态建模和实验分析，本文不仅揭示了折纸结构的可控性特性，还为折纸在多个工程领域的应用提供了理论支持和技术指导。这一研究为折纸结构的高效控制和展开设计提供了新的思路，具有重要的工程和科学意义。