针对具有未知动态的连续时间随机H∞控制问题的鲁棒策略迭代方法

《Mathematics and Computers in Simulation》：Robust policy iteration for the continuous-time stochastic H∞ control problem with unknown dynamics

基于强化学习的随机无限时LQ零和博弈控制问题求解方法，提出一种仅需一次数据采集的模型无关PI算法，并证明其收敛性及内外循环的鲁棒性。通过二维线性系统和四维双质量弹簧系统的仿真验证了算法有效性。

　　这篇文章主要探讨了在完全未知系统动态的情况下，如何利用强化学习（Reinforcement Learning, RL）方法解决一个连续时间的随机H∞控制问题。具体来说，该问题被建模为一个无限时间范围的随机线性二次零和微分博弈（Stochastic Linear-Quadratic Zero-Sum Differential Game, LQZSG）。H∞控制理论在过去的几十年中得到了广泛关注和发展，它关注的是在最坏情况下的控制器设计问题。在解决这类问题时，通常需要找到一个所谓的“鞍点”（saddle point），这个鞍点表示在控制与扰动之间达到一种平衡状态，使得控制策略能够最小化系统性能指标，而扰动则试图最大化该指标。

在传统方法中，为了求解H∞控制问题，往往需要借助于复杂的数学工具，如Hamilton-Jacobi-Bellman-Isaacs（HJI）方程，这些方程在非线性系统中尤其难以求解。对于线性系统，人们则倾向于使用代数Riccati方程（Algebraic Riccati Equation, ARE）来求解，但这些方法通常依赖于系统参数的精确已知。然而，随着强化学习理论的发展，越来越多的研究开始关注如何在不依赖系统参数信息的前提下，通过数据驱动的方式求解这类问题。这使得强化学习在处理不确定性系统时展现出独特的优势。

本文提出了一种基于策略迭代（Policy Iteration, PI）的强化学习算法，用于求解随机H∞控制问题。该算法的关键创新点在于，它不需要已知系统的任何参数信息，只需要收集状态和控制输入的数据即可进行迭代求解。与以往的算法不同，本文的算法在整个迭代过程中只需进行一次数据收集，这大大降低了计算复杂度并提高了实用性。此外，该算法在设计上去除了对部分系统信息的依赖，从而实现了一个完全模型无关的求解方法。

为了确保算法的有效性，本文还提供了其收敛性的数学证明。在收敛性分析中，作者考虑了算法在迭代过程中可能受到的误差影响，并证明了当误差在一定范围内时，算法能够收敛到随机LQZSG问题的最优解附近的一个小邻域内。这种收敛性证明不仅为算法的理论基础提供了支持，也为实际应用中可能存在的数据误差或系统不确定性提供了合理的解释。

在算法设计中，作者特别关注了PI算法的鲁棒性（robustness）。由于在实际应用中，系统的状态和控制输入数据可能存在一定的估计误差，因此算法在面对这些误差时能否保持稳定性和收敛性成为一个重要的研究课题。为此，本文引入了鲁棒性分析方法，探讨了算法在存在误差扰动情况下的表现。作者通过构建一个误差模型，并利用Lyapunov函数的方法对算法的鲁棒性进行了系统分析，证明了即使在存在误差的情况下，算法依然能够保持其收敛特性。这种分析方法不仅适用于当前问题，也为其他类型的强化学习算法提供了借鉴。

为了验证所提出算法的有效性，本文进行了两个数值仿真实验。第一个实验基于一个二维线性系统，第二个实验则涉及一个四维的双质量弹簧系统。在这些实验中，作者通过实际的数据收集和算法迭代，展示了该算法能够有效地找到最优控制策略，并且在面对系统动态不确定性时仍能保持良好的收敛性能。实验结果表明，该算法在实际应用中具有较强的鲁棒性和适应性，能够处理各种复杂的系统环境。

本文的结构安排清晰，首先在第二部分对随机H∞控制问题进行了简要介绍，并回顾了基于模型的PI算法。第三部分则重点介绍了所提出的完全模型无关的PI算法，该算法通过数据驱动的方式进行策略迭代。第四部分深入分析了该算法的鲁棒性，讨论了其在面对数据误差和系统扰动时的表现。第五部分展示了两个数值仿真实验的结果，以证明算法的实际有效性。最后，第六部分总结了本文的研究成果，并展望了未来可能的研究方向。

在符号定义方面，作者使用了一些标准的数学符号，如R^n表示n维实数空间，R^n×m表示n×m维实数矩阵空间，而Frobenius范数（Frobenius norm）则用于衡量矩阵的大小。此外，作者还引入了K类函数和KL类函数的概念，这些函数在鲁棒性分析中起到了关键作用。K类函数用于描述函数的单调性，而KL类函数则用于描述函数随时间变化的衰减特性。这些数学工具为算法的收敛性和鲁棒性分析提供了坚实的理论基础。

在实际应用中，强化学习算法能够通过不断收集系统运行数据来优化控制策略，这种方法特别适用于那些系统动态复杂或未知的场景。例如，在自动驾驶、机器人控制、金融风险管理等领域，系统动态往往难以准确建模，因此模型无关的强化学习方法具有重要的应用价值。本文所提出的算法，不仅能够在这些复杂场景中找到最优控制策略，还能有效应对数据误差和系统不确定性带来的挑战。

此外，作者还提到，随着强化学习理论的不断发展，越来越多的研究开始关注如何在随机系统中应用强化学习方法。这些研究不仅包括传统的线性二次问题，还扩展到了更复杂的非线性系统和多智能体博弈问题。本文所提出的算法，正是这一研究趋势下的一个重要成果，它为处理随机H∞控制问题提供了一种新的思路和方法。

本文的贡献主要体现在三个方面：首先，作者提出了一种全新的基于策略迭代的强化学习算法，用于求解具有不定二次项的随机GARE问题；其次，该算法不需要已知系统参数信息，仅需收集状态和控制输入数据，从而实现了完全模型无关的求解；最后，作者通过两个数值实验验证了该算法的有效性，展示了其在实际系统中的应用潜力。这些成果不仅丰富了强化学习在控制理论中的应用，也为未来的相关研究提供了新的方向和工具。

总的来说，本文通过引入一种新的强化学习算法，为解决随机H∞控制问题提供了一种高效且鲁棒的方法。该算法在不依赖系统参数信息的前提下，通过数据驱动的方式实现了策略迭代，这在处理不确定性系统时具有显著的优势。同时，作者对算法的收敛性和鲁棒性进行了深入分析，确保了其在实际应用中的稳定性。最后，通过数值实验验证了该算法的有效性，进一步证明了其在实际系统中的应用价值。这些研究不仅推动了强化学习在控制理论中的发展，也为未来的相关研究奠定了坚实的基础。