具有延迟反馈控制的复杂网络中的临界曲线与稳定区域

《Mathematics and Computers in Simulation》：Critical curves and stability region in a complex network with delayed feedback control

二维复杂网络在延迟反馈控制下的稳定性分析，揭示无控制时平衡态不稳定，引入控制后稳定性区域由五条临界曲线围成，讨论超/亚临界Hopf分岔及混沌行为。

　　复杂网络作为研究复杂系统的一种重要方法，已经在多个领域展现出广泛的应用前景。近年来，随着对复杂系统行为理解的不断深入，研究者们逐渐认识到，时间延迟反馈控制在稳定复杂网络行为方面具有重要作用。本文提出了一种二维复杂网络模型，并引入了时间延迟反馈控制机制，分析了该模型在无控制与有控制情况下的稳定性变化。研究发现，当没有控制时，网络的平衡点往往是不稳定的，但通过引入非常小的控制参数，就可以使平衡点变得稳定。这种发现为复杂网络的进一步应用提供了理论依据。

复杂网络理论的核心在于理解个体之间的相互作用如何影响整个系统的整体行为。它将系统中的个体视为网络中的节点，个体之间的关系则作为连接这些节点的边。通过这种方式，复杂网络理论能够描述和研究系统的行为特征及其拓扑结构。例如，复杂网络理论已被广泛应用于电力网络、神经网络、金融网络和互联网等系统的研究中。复杂网络理论的快速发展，得益于研究者们对网络结构的深入探讨，如小世界网络和无标度网络等。小世界网络具有较短的平均路径长度和较高的聚类系数，介于完全随机网络和完全规则网络之间。Watts和Strogatz在1990年代末提出了小世界网络模型，而Watts和Newman以及Moukarze则进一步研究了具有稀疏长程连接的系统。Barabási和Albert提出的无标度网络模型，也推动了复杂网络研究的深入发展。

在近年来的研究中，许多学者关注了具有时间延迟的复杂网络的时空动态特性。例如，Tian和Ruan在Watts–Strogatz网络和Barabási-Albert无标度网络中研究了具有延迟的藻类竞争模型，发现延迟对网络行为有显著影响。然而，这些研究大多集中在单一延迟的情况下，没有充分探讨多个延迟的交互作用。此外，一些研究虽然涉及多个延迟，但对稳定性区域的分析较为粗略，未能给出清晰的边界描述。因此，有必要进一步研究具有两个延迟的复杂网络的稳定性区域，以更全面地理解其动态行为。

本文提出了一种二维复杂网络模型，并引入了时间延迟反馈控制。模型的核心方程为：

$$ \frac{d^2 V}{dt^2} = \zeta^2 + V(t - \tau_1) - \nu \zeta^2 V^2(t - \tau_1) + \alpha (V(t - \tau_2) - V(t)) $$

其中，$ V $ 表示总影响量，$ \zeta $ 是Newman Watts长度尺度，$ \nu $ 是网络中非线性相互作用强度参数，$ \tau_1 $ 是网络延迟，$ \tau_2 $ 是控制器延迟，$ \alpha $ 是反馈控制系数。该模型引入了两个延迟参数，研究其对系统稳定性的影响。在无控制的情况下，即当 $ \alpha = 0 $ 时，系统表现出不稳定性，但当引入控制参数后，系统的平衡点可以变得稳定。

为了更深入地分析系统的稳定性，本文采用了一种结合现有方法的新技术，通过研究特征方程的虚根，得到了系统的稳定性切换曲线。这种分析方法不仅能够准确描述稳定性区域的边界，还能揭示系统在不同参数下的行为变化。通过数值模拟，研究者发现系统在两个延迟参数的二维平面上存在一个被五条切换曲线包围的稳定性区域。当参数远离这个区域时，系统可能会表现出周期解的倍增现象或混沌行为。这种分析有助于理解系统在不同参数下的稳定性与不稳定性之间的转换。

在讨论Hopf分岔的方向和周期解的稳定性时，本文考虑了两种情况：一种是 $ 0 < \tau_{10} \leq \tau_{20} $，另一种是 $ 0 < \tau_{20} < \tau_{10} $。通过应用Hassard方法和中心流形理论，研究者们得出了在临界值处Hopf分岔的方向以及周期解的稳定性。数值模拟进一步验证了这些理论分析的结果，表明在临界曲线上，系统从稳定状态向不稳定状态转变，并且周期解的分岔方向可能从超临界变为亚临界，或反之。这种分析不仅有助于理解系统的动态行为，还为控制复杂网络的稳定性提供了理论指导。

为了进一步验证模型的稳定性区域和分岔现象，本文进行了数值模拟实验。研究者选择了特定的参数值，如 $ \nu = 0.02 $、$ \zeta = 3 $，并计算了系统的平衡点。在这些参数下，系统的平衡点被发现为 $ V^+ = 10.3749 $。当 $ \alpha = 0 $ 且 $ \tau_1 = 0 $ 时，系统的特征方程在平衡点处具有纯虚根 $ \pm 1.6538i $，表明系统处于临界状态。数值模拟结果表明，当延迟参数在特定范围内时，系统可以保持稳定，而当参数超出这个范围时，系统可能表现出周期解的倍增现象或混沌行为。

此外，本文还讨论了不同延迟参数对系统稳定性的影响。研究发现，控制器延迟 $ \tau_2 $ 对网络稳定性具有重要影响，其变化可能导致系统从稳定状态转变为不稳定状态。因此，控制延迟的设置需要谨慎，以确保系统的稳定性。通过研究不同参数组合下的系统行为，研究者们能够更直观地理解系统在稳定性区域边界上的变化过程。

本文的研究不仅为复杂网络的稳定性分析提供了新的视角，还为实际应用提供了理论支持。例如，通过引入时间延迟反馈控制，可以有效稳定原本不稳定的复杂网络，从而在实际系统中实现更好的控制效果。此外，研究还揭示了复杂网络在不同参数下的丰富动态行为，包括稳定性区域、超临界和亚临界Hopf分岔以及混沌现象。这些发现有助于进一步探索复杂网络的控制机制，并为相关领域的研究提供新的思路。

总的来说，本文通过引入时间延迟反馈控制，分析了二维复杂网络的稳定性区域和分岔现象。研究发现，当系统参数处于特定范围内时，可以实现稳定的平衡点，而当参数远离这个范围时，系统可能会表现出周期解的倍增或混沌行为。这些结果不仅有助于理解复杂网络的动态特性，还为复杂网络的控制和应用提供了理论基础。此外，本文的研究方法具有一定的普适性，可以应用于更高维度或随机网络的稳定性分析，为复杂网络理论的发展提供了新的方向。