概率布尔控制网络（PBCNs）的局部稳定化与状态翻转控制设计：基于吸引域的最大化分析

本文深入探讨了概率布尔控制网络（PBCNs）的局部稳定化问题，提出了基于可达集序列的最大吸引域确定方法，并创新性地引入状态翻转控制策略，成功将局部稳定扩展至全局，为复杂基因调控网络的分析与干预提供了新的理论工具和设计框架。

　　

Highlights

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  (i) 通过构建一系列可达集，我们分别确定了概率布尔控制网络（PBCNs）局部有限时间状态反馈稳定（FTSFS）和局部分布状态反馈稳定（SFSD）的最大吸引域。与先前仅适用于验证PBCNs全局稳定性的研究（如Li等人(2014)和Zhou等人(2020)的工作）相比，我们的新成果可用于研究无法实现全局稳定的PBCNs，因此具有更重要的实际意义。

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  (ii) 当PBCNs无法实现全局FTSFS或SFSD时，我们设计了状态翻转控制策略，通过最大吸引域来实现全局的FTSFS或SFSD。与翻转所有初始状态的方法（如Chen等人(2020b); Liu等人(2023); Zhang等人(2021)）相比，我们推导出了为实现PBCNs全局稳定所需翻转的最小初始状态集合。

Preliminaries and Problem Formulation

一个PBCN遵循以下动态方程：

A(t+1) = f(A(t), U(t)),

其中 A(t) = (A₁(t), …, A_n(t))^? ∈ Dⁿ 和 U(t) = (U₁(t), …, U_m(t))^? ∈ D^m 分别是时间t的状态和控制输入。函数f在每个时间步从集合{f₁, …, f_r}中随机选取，其选择概率为 P{f = f_i} = p_i > 0, ?i ∈ {1, …, r}。这里，f_i: D^m+n → Dⁿ, i ∈ {1, …, r} 是逻辑映射，并且 ∑_i=1^rp_i = 1。实际上，PBCN (1) 可以被视为马尔可夫跳跃布尔控制网络（Markov jump Boolean control networks），其切换信号根据转移概率更新。

Local State Feedback Stabilization of PBCNs

在本节中，我们专注于PBCNs的局部稳定问题，包括局部有限时间状态反馈稳定（FTSFS）和局部分布状态反馈稳定（SFSD）。

Application to State-flipped Control Design of PBCNs

当 I_f ≠ Δ_2ⁿ (或 I_d ≠ Δ_2ⁿ) 时，PBCNs无法实现全局FTSFS（或SFSD）。在这种情况下，可以基于最大吸引域来设计状态翻转控制。为此，我们回顾一下布尔网络中的状态翻转控制（Cheng et al. (2011); Rafimanzelat and Bahrami (2018))。

将 A₁, …, A_n ∈ D 表示为一个布尔网络的状态变量。子集 S := {i₁, …, i_s} ? {1, …, n} 被称为一个扰动集，如果 A_i1, …, A_is 代表那些可以从1（或0）翻转到0（或1）的变量。在不失一般性的前提下...

Conclusion

在本文中，我们研究了PBCNs的局部FTSFS和SFSD。我们构建了两种可达集，即概率为1的可达集和具有正概率的可达集。基于这两种可达集，我们分别确定了FTSFS和SFSD的最大吸引域。作为应用，我们设计了状态翻转控制来实现PBCNs的全局FTSFS和SFSD。所有上述结果对于...（研究）仍然成立。

Uncited float

图1和表1。

CRediT authorship contribution statement

Xinrong Yang: 撰写 – 初稿, 概念化。 Haitao Li: 撰写 – 审阅与编辑。

Declaration of competing interest

作者声明不存在任何已知的竞争性经济利益或个人关系，这些利益或关系可能影响本报告所呈现的研究工作。

Funding

本研究工作得到了国家自然科学基金（批准号62473239和62073202）、山东省自然科学基金重大项目（批准号ZR2024ZD41）以及泰山学者青年专家计划（批准号tsqn201909076）的资助。