基于移位切比雪夫多项式配置法的COVID-19生物SIR模型数值解与收敛性分析

本文推荐一篇关于COVID-19传播动力学建模的研究，作者采用移位切比雪夫多项式配置法（SCP）求解SIR（Susceptible–Infectious–Recovered）模型转化的非线性Volterra积分方程，并进行了严格的收敛性分析（误差阶达O(N1/2?m)）。该方法在长时间区间内保持高精度，通过多组参数模拟验证了其有效性，为传染病动态预测提供了可靠计算工具。

　　

Theoretical framework

设X = L^∞(Ω_T)为Banach空间。根据文献[15]中的定理1，系统(2)在C¹(Ω_T)中存在唯一正解S、I和R。因此，解R可表示为：

R(t) = r?₀ + ∫₀^t k(s, R(s)) ds, t ∈ Ω_T,

其中S(t) = s?₀ e^?μR(t), I(t) = N ? s?₀ e^?μR(t) ? R^*(t)。

进一步定义积分算子K: X → X为：

K(R)(t) = ∫₀^t k(s, R(s)) ds, t ∈ Ω_T,

其中k(t, R(t)) = β(N ? s?₀ e^?μR(t) ? R(t))。

利用该算子，方程(3)可重写为：

R(t) ? K(R)(t) = r?₀, t ∈ Ω_T。

对任意R, S ∈ X，根据(4)式可得算子K的Lipschitz连续性。

Collocation method

本节描述用于求解方程(3)的移位第三类切比雪夫多项式（TKCP）配置法。首先将R展开为有限级数：

R_N(x) = ∑_n=0^N R_n,N T_n(t) = R^T T_N(t),

其中R = (R_0,N, R_1,N, …, R_N,N)^T，T_N(t) = (T₀(t), T₁(t), …, T_N(t))^T。

将(38)式代入(3)得到残差函数：

r_N(t) = R^T T_N(t) ? ∫₀^t k(s, R^T T_N(s)) ds ? r?₀。

残差函数在配置点ξ_i,N^T处满足r_N(ξ_i,N^T) = 0（i=0,…,N）。

Convergence analysis

本节研究近似解R_N的存在性、唯一性和收敛性，其满足近似Volterra积分方程：

R_N = P_N^T T(R_N)。

为获得更精确解，定义迭代解：

R?_N = T(R_N)。

进一步定义算子T_N和T?_N：

T_N R ? P_N^T T(R),

T?_N R ? T(P_N^T R)。

这些算子满足T_N R_N = R_N和T?_N R?_N = R?_N。

对任意w ∈ X，T?_N在R处的Fréchet导数为T?_N′(R)w = T′(P_N^T R^*)w。

Numerical results and discussion

本节通过详细图表展示SIR模型的移位切比雪夫法数值解。通过调整参数M、α、β及初始条件s?₀、i?₀、r?₀分析系统(1)。定义误差度量：

e_N,S^T = ‖S₂₅₆ ? S_N‖_∞ = sup_t∈ΩT |S₂₅₆(t) ? S_N(t)|,

R_N,S^T(t) = |S(t) ? S_N(t)| / |S(t)|,

e_N,I^T = ‖I₂₅₆ ? I_N‖_∞ = sup_t∈ΩT |I₂₅₆(t) ? I_N(t)|,

R_N,I^T(t) = |I(t) ? I_N(t)| / |I(t)|,

e_N,R^T = ‖R₂₅₆ ? R_N‖_∞ = sup_t∈ΩT |R₂₅₆(t) ? R_N(t)|。

Conclusion

本研究提出基于SCP配置法的高效数值方法，用于求解模拟COVID-19的生物SIR系统。该方法将原问题转化为非线性Volterra积分方程，并用SCP逼近。严格分析表明方法在L^∞-范数下的收敛阶为O(N^?1/2?m)，其中N为最高多项式次数，m反映解的光滑性。