随机深度Ritz方法：参数不确定性量化在科学机器学习中的创新应用

本文提出一种基于深度学习与蒙特卡洛采样融合的随机深度Ritz方法（Stochastic Deep-Ritz），用于解决材料科学中随机变分问题的参数不确定性量化（UQ）。该方法通过神经网络直接学习空间与随机变量的联合映射，突破传统方法在维数灾难（Curse of Dimensionality）和物理约束处理上的局限，为材料建模与增材制造（Additive Manufacturing）中的不确定性分析提供了高效且高精度的计算框架。

　　

Section snippets

The stochastic variational problem

设D??R^d为一个有界开集，其边界?D满足Lipschitz条件，(Ω, F, P)为一个概率空间。我们研究如下形式的泛函：

J(u) = E[∫_DI(x, u, ?u; κ(x, ω)) dx]

其中I为拉格朗日量（Lagrangian），u: D? × Ω → R^N为待求解函数，κ: D? × Ω → R为随机输入场。

Preliminaries on neural networks

深度神经网络（DNN）通过层级结构Φ = {(T₁, σ₁), …, (T_L, σ_L)}实现高维映射，其中T_l(x) = W_lx + b_l为仿射变换，σ_l为非线性激活函数。网络参数θ = (W₁, b₁, …, W_L, b_L)通过优化损失函数学习随机变分问题的解。

Numerical experiments

通过测试二次拉格朗日形式的随机变分问题验证方法有效性，其欧拉-拉格朗日形式对应随机椭圆PDE：

-?·(κ(x, Z(ω))?u(x, Z(ω))) = f(x, Z(ω)), in D,

u(x, Z(ω)) = 0, on ?D.

实验表明该方法在精度和计算效率上优于传统离散化方法。

Summary and conclusion

本研究提出的随机深度Ritz方法成功融合蒙特卡洛采样与DNN逼近，避免了物理域离散化带来的计算复杂度爆炸问题，为高维随机变分问题提供了可扩展且精确的求解框架。

CRediT authorship contribution statement

Ting Wang：综述撰写、软件实现、方法论设计、形式化分析；Jaroslaw Knap：方法论指导、形式化分析与概念化。

Declaration of competing interest

作者声明无已知竞争性财务利益或个人关系影响本研究。