综述：莫顿数及其在自由表面流建模中的重要性

本综述系统阐述了自由表面流物理与数值建模中的核心无量纲参数莫顿数（Mo）的理论基础与工程意义。作者强调在弗劳德相似（Froude similitude）准则下，当模型与原型采用相同流体（水-空气）时，莫顿数自动守恒，而雷诺数（Re）的差异会导致黏滞力与毛细作用的尺度效应。研究指出韦伯数（We）在保留雷诺数时无关紧要，并探讨了异流体建模的潜在价值，为水力模型可靠性评估提供了重要理论依据。

　　

莫顿数及其在自由表面流建模中的重要性

引言

自由表面流计算在土木、化学和环境工程领域具有重要地位，其核心挑战在于自由表面位置的预测，因为水深通常预先未知。工程实践中，水力系统设计依赖理论模型、物理模型和计算流体动力学（CFD）数值模型等工具，这些模型需基于相似性原理和量纲分析构建，以确保对全尺度性能的可靠预测。传统量纲分析将基本参数归类为质量（M）、长度（L）和时间（T）三个维度，依据Vaschy-Buckingham定理，可推导出包括弗劳德数（Fr）、雷诺数（Re）和韦伯数（We）在内的无量纲参数。

水力建模与量纲考量

水力模型数据的呈现必须与原型应用相关，而量纲分析是提取关键设计参数的基础方法。模型-原型一致性要求两者遵循相同的几何、运动学和动力学相似准则，以及质量、动量和能量守恒原理。在自由表面流中，重力效应始终重要，因此需采用弗劳德相似准则，即模型与原型弗劳德数相同。绝大多数水力模型使用与原型相同的流体（水和空气），这一约束通过引入莫顿数（Mo）简化了量纲分析过程。

莫顿数

莫顿数是从量纲分析中衍生的无量纲数，用于表征连续相中运动气泡或滴状物的形态（例如水中的气泡）。其定义为：

Mo = g × μ⁴ / (ρ × σ³)

其中ρ和μ分别为连续相密度和动态黏度，σ为气-液表面张力。该参数于1953年首次提出，最初被称为气泡运动形状参数，后为纪念流体力学学者Rose Katherine Morton而命名。莫顿数本质反映了流体物性（黏度、密度和表面张力）对界面动力学行为的综合影响。

讨论

在自由表面流中，水力模型尺寸远小于原型系统，当采用相同流体时，模型雷诺数显著低于全尺度值。这种差异体现了黏滞力和毛细过程引发的尺度效应风险。尽管存在通过韦伯数控制毛细作用的尝试，但研究表明，当雷诺数被保留时，韦伯数实际上无关紧要。现有指南多基于经验性雷诺数/韦伯数阈值，但理论上这些建议在莫顿数守恒前提下缺乏严格依据。

非莫顿相似的自由表面流建模

传统缩放模型使用与原型相同的流体，即保持莫顿相似。但在小尺度模型中，摩擦和毛细效应可能相对更显著，导致模型结果外推不准确。采用模型与原型异流体的方法（如改变黏度或表面张力）可部分减少尺度效应，但会引入流体物性差异的新问题，需通过系统实验和理论分析验证其可行性。

结论

自由表面流建模中重力效应至关重要，弗劳德相似是基本原则。多数水力模型使用相同流体（水-空气）的条件隐含了莫顿数不变性，这为量纲分析提供了有效简化。尽管该理论已成熟，部分工程师仍错误地同时使用雷诺数和韦伯数作为建模准则，而实际上两者存在内在关联。未来研究需更系统地理清无量纲参数间的耦合机制，提升复杂界面流动的预测精度。

致谢

研究感谢昆士兰大学土木工程学院提供的资金支持，以及与已故Ian R. Wood教授（坎特伯雷大学）和Michael Pfister教授（弗里堡应用科学大学）的有益讨论。同时向Rose Katherine Morton的女儿Marie Cole女士致谢，其为莫顿数的历史背景提供了珍贵资料。