双时间量子动力学方法：形式体系及其在Berry相位、自发衰变和驻留时间中的应用

本文提出了一种创新的双时间量子态形式体系，通过引入前向演化的密度矩阵ρ(t)和后向演化的效应矩阵σ(t′)，在一般不同时间点t ≠ t′上描述量子系统。该框架扩展了传统量子力学描述，利用时间间隔Δt = t′ ? t提供了额外的自由度来建模时间对称量子动力学。研究定义了双时间弱值，并深入探讨了其在自旋系统Berry相位、两能级原子与原子系综耦合模型中的自发衰变及驻留时间等方面的物理含义。结果表明，Berry相位可通过Δt进行调控，超越传统绝热约束；衰变动力学受Δt强烈调制，可实现有效衰变率的抑制或增强；同时推导了弱测量下驻留时间的闭式表达式。这些发现突显了双时间形式体系在探索时间分辨量子过程中的概念效用，对量子控制、反馈和开放系统相干性保持等领域具有重要启示。

　　

1 引言

量子力学传统上描述系统从初始状态开始向前时间演化。然而，当同时指定初始制备和最终测量时，这种单向框架显得不足。Aharonov、Bergmann和Lebowitz提出的双态矢量形式体系（TSVF）通过前向演化态|ψ(t)〉和后向演化态〈?(t)|来描述系统，这种时间对称方法引出了弱值的概念，可通过弱测量实验获取，并揭示微妙且有时反直觉的量子行为。

TSVF在概念上结合了过去和未来的量子态，表示为对〈?(t)||ψ(t)〉，但并未构建新的状态或统计对象。在此基础上，Gammelmark、Julsgaard和M?lmer引入了过去量子态形式体系，通过前向演化密度矩阵ρ(t)和以后续测量为条件的后向演化效应矩阵σ(t)来捕捉两者之间的相互作用。

ρ(t)和σ(t)对共同提供了量子统计的时间对称描述：ρ(t)编码来自过去（预选择）的信息，而σ(t)编码来自未来（后选择）的信息。它们共同定义了联合预测-回溯结构。与算符A相关的中间测量结果的概率为Tr[Aρ(t)σ(t)]/Tr[ρ(t)σ(t)]，该表达式在ρ(t)和σ(t)中是对称的。这种方法通过结合前向和后向信息扩展了传统的单时间描述，并已广泛应用于测量关联函数和连续监测。

多项推广工作扩展了这种过去与未来量子信息的统一。Shikano和Hosoya引入了一个W算符，定义为W(t) = |ψ(t)〉〈?(t)|，提供了前向和后向演化状态的直接基于算符的表示。一个密切相关的构造是连接态，由ρ(t)σ(t)/Tr[ρ(t)σ(t)]给出，提供了在这两个状态之间任何测量的完整统计。Vaidman等人提出了一个混合双态矢量(σ(t), ρ(t))，可以概率方式处理。另一种方法使用块对角构造将ρ(t)和σ(t)嵌入到一个扩大的希尔伯特空间中，即diag[ρ(t), σ(t)]，这使得能够对时间对称动力学进行数学上一致的处理，特别是在开放系统的背景下，以及状态测量。

本研究工作中，我们在两个不同时间引入过去-未来形式体系，用于前向演化密度矩阵ρ(t)和后向演化效应矩阵σ(t′)，其中t ≠ t′。我们为这种双时间状态构建了一致的数学框架，并基于时间间隔Δt = t′ ? t建立了其物理演化。在此框架内，我们定义了一个双时间弱值，并展示了其在Berry相位、自发衰变过程和驻留时间中的应用。

我们的结果表明，双时间Berry相位通过Δt展示了可调性，为几何相位累积提供了时间对称的调控手段。类似地，双时间弱值为衰变动力学提供了额外的时间控制。Δt的符号和大小决定了衰变是相对于标准演化减慢还是加速。我们还推导了弱测量下驻留时间的闭式表达式，该表达式明确依赖于Δt，突显了双时间框架在捕捉时间分辨量子行为方面的精确性。这些观察结果表明在量子控制、相干性保持和量子技术中的潜在用途。

我们在第2节介绍过去-未来形式体系及其时间依赖的von Neumann动力学。第3节将此框架扩展到双时间方法，随后在第4节推导双时间弱值。第5节将形式体系应用于Berry相位、自发衰变和驻留时间问题。第6节提供了研究发现的总结和结论性 remarks。

2 过去–未来形式体系

在本节中，我们介绍过去–未来量子态及其相应的时间依赖von Neumann方程。考虑一个量子系统，初始在时间t_i制备为密度矩阵ρ(t_i)。该状态根据薛定谔方程向前时间演化：

i? ?ρ(t)/?t = [H, ρ(t)]

其中演化算符定义为：

U(t, t_i) = exp[-(i/?) ∫_ti^t H(s) ds]

其中H表示系统哈密顿量。

在最终时间t_f，系统后选择到由效应矩阵σ(t_f)描述的最终状态。该矩阵从t_f向后时间演化到t为：

σ(t) = U^?(t_f, t) σ(t_f) U(t_f, t)

前向和后向演化状态ρ(t)和σ(t)共同增强了在时间t的测量预测。可观测量A的测量导致一个弱值，其表示为：

A_w(t) = Tr[A ?(t)] / Tr[?(t)]

其中?(t)是过去-未来量子态，定义为：

?(t) = ρ(t)σ(t) / Tr[ρ(t)σ(t)]

也称为连接态。

我们定义N为归一化因子，由方程(5)中的分母给出。其读作：

N = Tr[ρ(t)σ(t)]

该因子是时间无关的，并表示获得效应矩阵σ(t_f)的概率。对于纯过去–未来状态，其中ρ(t) = |ψ(t)〉〈ψ(t)|和σ(t) = |?(t)〉〈?(t)|，方程(5)变为：

?(t) = |ψ(t)〉〈?(t)| / 〈?(t)|ψ(t)〉

或者，将方程(1)和(3)代入方程(5)得到：

?(t) = U(t, t_i) ρ(t_i) U^?(t, t_i) σ(t_f) U(t_f, t) / Tr[ρ(t_i) U^?(t_f, t_i) σ(t_f) U(t_f, t_i)]

该状态满足von Neumann方程：

i? ??(t)/?t = [H, ?(t)]

初始条件为?(t_i) = ρ(t_i)σ(t_i)/Tr[ρ(t_i)σ(t_i)]，其中σ(t_i)是时间t_i的效应矩阵。给定ρ(t)、σ(t_f)和H，初始状态?(t_i)可以被制备并向前时间演化。

3 双时间过去–未来量子态

我们考虑两个时间t, t′ ∈ [t_i, t_f]并定义双时间过去-未来密度态为：

?(t, t′) = ρ(t)σ(t′) / Tr[ρ(t)σ(t′)]

其中归一化因子N(t, t′)是时间依赖的。将方程(1)和(3)代入方程(10)，它变为：

?(t, t′) = U(t, t_i) ρ(t_i) U^?(t, t_i) U^?(t_f, t′) σ(t_f) U(t_f, t′) / Tr[ρ(t_i) U^?(t_f, t_i) σ(t_f) U(t_f, t_i)]

现在让我们考虑关于时间t的von Neumann方程：

i? ??(t, t′)/?t = [H, ?(t, t′)]

初始状态是：

?(t_i, t′) = ρ(t_i) Λ(t_i, t′) / Tr[ρ(t_i) Λ(t_i, t′)]

其中：

Λ(t, t′) = U^?(t_f, t′) σ(t_f) U(t_f, t′) U(t, t′)

是从t_f向后演化到t_i的后选择状态，然后如果t′ > t则从t向前到t′，或者如果t′ < t则向后。有关状态演化的图示，请参见图1，推导见附录B。

这种数学公式意味着初始状态依赖于t和t′，因此不能代表物理状态。为了解决这个问题，我们假设哈密顿量H是时间无关的。因此，演化算符仅依赖于时间间隔，即：

U(t, t′) = exp[-(i/?) H (t - t′)]

定义Δt = t′ ? t，方程(14)变为：

Λ(t, Δt) = U^?(t_f, t) σ(t_f) U(t_f, t) U(t, t + Δt)

这仅依赖于Δt。因此，初始密度矩阵(13)读作：

?(t_i, Δt) = ρ(t_i) Λ(t_i, Δt) / Tr[ρ(t_i) Λ(t_i, Δt)]

其中归一化因子是：

N(Δt) = Tr[ρ(t_i) Λ(t_i, Δt)]

这里，Λ(t_f, Δt)是通过将方程(16)中的t_i替换为t_f得到的。注意N(Δt)现在仅依赖于间隔Δt。

方程(17)中的密度矩阵可以针对每个Δt明确制备。使用von Neumann方程(12)，在时间t演化的状态为：

?(t, Δt) = U(t, t_i) ?(t_i, Δt) U^?(t, t_i)

这等价于方程(11)。

我们在图1中展示了状态演化过程，其中左右面板分别对应Δt > 0和Δt < 0。密度矩阵ρ从t_i向前时间演化到t，由蓝色波浪线表示。相反，效应矩阵σ从t_f向后时间传播到t′，由红色波浪线描绘。这两个过程在数学上由方程(1)和(3)描述。

或者，双时间过去-未来密度矩阵的构建可以理解为三个步骤的序列：(i) 效应矩阵σ从t_f向后演化到t_i，得到σ(t_i)，如方程(16)给出。此步骤在图中上半部分由虚线绿色曲线说明。(ii) 然后该矩阵通过间隔Δt向前或向后演化（取决于Δt的符号），通过方程(16)产生Λ(t_i, Δt)。这由点状绿色曲线显示。(iii) 初始过去-未来密度矩阵?(t_i, Δt)然后使用von Neumann方程(12)从t_i向前传播到时间t。此步骤由实心绿色曲线说明。

由于哈密顿量是时间无关的，步骤(ii)和(iii)可交换并可以互换顺序。在图1中，我们重新排列了它们以确保连续的向前时间流，由绿色曲线一致表示。

4 弱值

在本节中，我们讨论通过双时间过去–未来密度矩阵定义的弱值。类似于方程(4)，双时间形式体系下可观测量A的弱值由下式给出：

A_w(t, t′) = Tr[A ?(t, t′)] / Tr[?(t, t′)]

其中A_w(t, t′)被称为双时间弱值。使用时间间隔Δt = t′ ? t的等效表达式为：

A_w(t, Δt) = Tr[A ?(t, Δt)] / Tr[?(t, Δt)]

我们注意到这里引入的双时间弱值的定义与参考文献[18]中的定义有显著不同。在参考文献[18]中，双时间弱值是为扩大量子态制定的，其中t′定义为t_f ? t。在这种背景下，t′由t唯一确定，该量可能更恰当地被视为双时间关联。

相反，本公式将t和t′视为独立变量。因此，两个时间都可以在区间[t_i, t_f]内自由选择，允许更广泛的动力学配置。

作为一个说明性例子，我们考虑一个自旋-1/2粒子受到沿z轴的静磁场作用。系统由哈密顿量控制：

H = -μ B σ_z

其中μ是磁矩，B是磁场强度，σ_i (i = x, y, z)是泡利矩阵。相应的酉时间演化算符是：

U(t) = exp[-(i/?) H t] = exp[i Ω t σ_z]

其中Ω = μB/? (rad/s)表示拉莫尔频率。

我们在时间t_i = 0沿x方向制备初始状态，由泡利矩阵σ_x的归一化本征态给出为：

|ψ(0)〉 = (1/√2)(|↑〉 + |↓〉)

在最终时间t_f = T的后选择状态选择为σ_y对应于本征值+1的本征态：

|?(T)〉 = (1/√2)(|↑〉 + i|↓〉)

σ_y的双时间弱值结果如图2所示，其中Ω = 0.4π。在左面板中，使用方程(20)计算双时间弱值，这依赖于t和t′。如前所述，这需要为每对(t, t′)制备初始过去-未来密度矩阵，使得过程不便。或者，通过方程(21)将双时间弱值表示为t和Δt的函数简化了制备：初始状态只需要为每个Δt制备一次，如方程(17)所示。

这两种方法是等效的，如两个面板中标记的点所证明；例如，左面板中填充正方形的值匹配右面板中的相应值。由于0 ? t, t′ ? T，间隔Δt跨越[?T, T]。对于Δt > 0，t范围从0到T ? Δt，而对于Δt < 0，t范围从T ? Δt到T。这两种情况分别沿着右面板的左右垂直轴描绘，由白色虚线分隔。它们共同覆盖了左面板中显示的所有(t, t′)值。

5 应用

在本节中，我们将提出的方法应用于研究Berry相位、衰变定律和驻留时间。

5.1 Berry相位

Berry相位是量子力学中的一个基本概念，代表系统演化的几何性质而非动力学贡献。当量子系统经历其参数空间中的绝热和循环演化时，状态获得一个额外相位，该相位仅依赖于路径的几何形状，而不依赖于遍历速率。这个相位，称为Berry相位，在各种量子现象中起着重要作用，包括拓扑物质、量子霍尔效应和几何量子门。

考虑一个参数依赖的哈密顿量H(R)，瞬时本征态|ψ(R)〉的Berry连接定义为：

A(R) = i 〈ψ(R)|?_Rψ(R)〉

在参数空间中沿闭合路径C获得的Berry相位则为：

Γ = ∮_C A(R) · dR

双时间形式体系可以扩展到定义预选择和后选择系综的Berry相位。我们引入Berry连接的时间对称弱值，如方程(21)：

A_w(R, Δt) = Tr[A(R) ?(t, Δt)] / Tr[?(t, Δt)]

而双时间Berry相位是：

Γ_w(Δt) = ∮_C A_w(R, Δt) · dR

双时间Berry相位在数学上将常规Berry相位推广到预选择和后选择系综，结合了ρ(t)和σ(t′)之间的干涉。这种干涉修改了相位，为几何演化提供了时间对称的视角。

让我们考虑一个之前描述的自旋-1/2系统，我们选择预选择状态为|ψ(0)〉 = cos(θ/2)|↑〉 + sin(θ/2)|↓〉，而后选择状态固定为|?(T)〉 = (1/√2)(|↑〉 + i|↓〉)。选择R = φ，与从0到φ的方位角变化相关的常规Berry相位由下式给出（附录C）：

Γ = - (φ/2) (1 - cos θ)

对于一个完整循环(φ = 2π)，这变为Γ = ?π(1 ? cos θ)。类似地，使用方程(28)和(29)数值计算双时间Berry相位。

图3显示了几个代表性极角θ选择的Berry相位结果。常规Berry相位与其双时间对应物之间的直接比较揭示了一个区别：虽然常规Berry相位仅依赖于系统的绝热路径，但双时间Berry相位通过时间分离Δt引入了额外的自由度。通过调整Δt，可以连续调谐相位，包括其显著偏离标准值的区域。这种可调性突显了双时间形式体系动态操纵几何相位的能力。

5.2 衰变定律

在本节中，我们将提出的方法应用于衰变定律的情况。我们还进一步将其与量子芝诺效应（QZE）和反量子芝诺效应（AZE）或逆芝诺效应进行比较。遵循参考文献[28]中的讨论，考虑一个参考两能级原子最初处于激发态的模型，通过相互作用哈密顿量H_int与全部初始处于基态的2N个两能级原子系综耦合。我们设基态能量为零，而第k个原子的激发态能量由E_k给出，满足关系：

E_k = k ΔE / N, k = -N, ..., N

经过时间t后，参考原子衰变到基态而另一个原子被激发的概率存在。相应幅度的动力学由下式描述：

i? ?c₀/?t = E₀ c₀ + ∑_k≠0 V_k c_k

i? ?c_k/?t = E_k c_k + V_k c₀

解这些方程得到：

c₀(t) = exp[- (i/?) E₀ t - γ t/2]

c_k(t) = -i (V_k/?) [exp(- (i/?) E_k t) - exp(- (i/?) E₀ t - γ t/2)] / (E_k - E₀ + i?γ/2)

其中γ是衰变参数。酉演化算符U(t)的分量由下式给出：

U₀₀(t) = exp[- (i/?) E₀ t - γ t/2]

U_0k(t) = -i (V_k/?) [exp(- (i/?) E_k t) - exp(- (i/?) E₀ t - γ t/2)] / (E_k - E₀ + i?γ/2)

相应的双时间弱值读作：

A_w(t, Δt) = U₀₀(t) U₀₀(t + Δt) / [U₀₀(t) U₀₀(t + Δt) + ∑_k≠0 U_0k(t) U_k0(t + Δt)]

在ΔE → 0的极限下，该表达式简化为：

A_w(t, Δt) = exp[- (i/?) E₀ Δt - γ |Δt|/2]

图4说明了参考两能级原子在不同测量协议下的衰变动力学：标准衰变定律（蓝色）、单时间弱值（橙色）以及分别在Δt = ?t_f（绿色）和Δt = t_f（虚线）评估的双时间弱值。

标准衰变定律指的是仅基于系统初始状态计算的常规期望值。这种方法产生最慢的衰变，因为它不包含任何后选择或时间对称信息。因此它代表了激发态中最长的存活种群。

相反，单时间弱值在单个中间时间使用初始和最终状态评估，表现出在最终时间t = t_f恰好消失的衰变，如参考文献[28]中报道。这种协议反映了后选择最终状态的影响，引入了时间依赖的衰减，相对于标准期望加速了表观衰变。

对于双时间弱值，我们考虑Δt的两个策略选择。当Δt < 0时，对应于绿色曲线和区域，弱值捕获了一个预后选择关联，其中第二时间先于测量时间t。在这种情况下，衰变似乎比单时间弱值更延长，但仍然比标准衰变更快。值得注意的是，对于Δt = ?t_f，信号在t = 2t_f消失，有效地扩展了可观察衰变持续时间。这个体制代表了通过来自过去的时间对称探测可实现的衰变时间的上界。

相反，当Δt > 0时，如虚线曲线和黄色阴影区域所示，衰变变得甚至比单时间弱值更快。这里，系统受到相对于测量时间的未来时间后选择的影响，导致衰变过程的表观加速。这个体制提供了由未来导向信息控制的衰变时间的下界。

这些结果说明双时间弱测量提供了量子动力学的额外视角。通过调整两个测量事件之间的相对时间Δt，可以探测超出通常由常规单时间方法捕获的衰变行为。这个框架也可能提高系统演化时间分辨率的研究，条件于预选择和后选择。这些见解可能有助于改进弛豫时间估计或为某些量子控制和计量学场景中的反馈策略提供信息。

5.3 驻留时间

我们现在转向驻留时间的分析，它表征了系统在指定时间间隔内有效保持在其激发态的持续时间。在弱测量框架内，可以通过对投影算子的双时间弱值随时间积分来评估驻留时间。得到的表达式由下式给出：

τ_d = ∫_ti^{t_f - Δt} |A_w(t, Δt)|² dt

其中我们定义了τ_m ≡ t_f ? Δt ? t_i作为评估双时间关联的有效时间窗口。

物理上，τ_d反映了中间种群如何受到双时间约束的影响，并且可以作为量子控制有效性的度量。实验上，τ_d可以使用弱测量推断，其中探针弱监测激发态占据而没有显著的反作用。随时间积分得到的指针偏移提供了驻留时间的操作估计。

结果表明驻留时间τ_d不是固定的，而是随着Δt的选择变化，两个时间测量事件之间的相对延迟。如图4的插图所示，当Δt = ?t_f时，驻留时间达到其最大值τ_d^max = t_f，对应于后选择先于所有中间时间t的情景。在这个极限中，τ_d捕获了衰变过程的完整记忆并饱和于其可能的最长持续时间。

另一方面，当Δt = t_f时，测量时间完全位于演化窗口之后，并且过去和未来之间的重叠消失。在这个极限中，系统在区间[t_i, t_f ? Δt]内没有时间支持，导致驻留时间τ_d = 0。

物理上，这种行为强调了时间对称性在量子测量中的影响。调整Δt的能力允许控制多少时间信息，即过去或未来，被纳入系统“停留”在特定状态的时间的弱值估计中。这个视角提供了对驻留时间超越基于概率密度或标准投影测量的传统解释的精细理解。

实际上，这种方法可能有助于需要控制量子寿命或跃迁时间的场景，例如传输、隧穿或光谱学，其中弱测量可以在最小干扰下提供衰变和定时的洞察。然而，由于大的希尔伯特空间、非马尔可夫效应和噪声，将形式体系扩展到现实系统仍然具有挑战性。

5.4 观察和与QZE/AZE的联系

在我们的双时间框架中观察到的现象显示了与众所周知的量子芝诺和反芝诺效应（QZE和AZE）的相似性。这些效应描述了频繁测量如何影响量子态的衰变动力学，要么抑制要么加速其演化。类似地，在我们的情况下，双时间框架引入了对系统衰变率的有效控制。

QZE发生在频繁测量通过连续投影到其初始状态而减慢甚至冻结量子态的演化