细胞通讯驱动的Waddington景观动态模型：从发育到免疫应答的数学框架

本研究提出一个整合细胞通讯的Waddington景观动态模型，通过耦合偏微分方程（PDE）和常微分方程（ODE）系统描述细胞状态密度与配体浓度变化，为组织再生和免疫应答研究提供新范式。

　　

Mathematical model

本研究考虑通过配体进行通讯的细胞群体。细胞状态记为x∈Ω（Ω为有界域），配体浓度为?(t)。细胞可能经历以下过程：

1. 1.

   细胞发育：细胞状态受细胞内/外过程影响，其动力学由随机微分方程dx = μ(x,?)dt + σ(x)dW_t描述，其中漂移项μ(x,?)和扩散项σ(x)分别反映定向变化和随机波动。

2. 2.

   增殖与死亡：细胞以速率β(x,?)增殖，以速率δ(x,?)死亡。

3. 3.

   配体动力学：配体由细胞以状态依赖速率α(x)产生，以速率γ降解，并被细胞以速率κ(x)内化。

基于上述假设，细胞群体密度n(t,x)和配体浓度?(t)的耦合动力学由以下PDE-ODE系统描述：

?n/?t = ???[μ(x,?)n] + (1/2)?2[σ2(x)n] + [β(x,?)?δ(x,?)]n

d?/dt = ?γ? + ∫_Ω α(x)n(t,x)dx ? ?∫_Ω κ(x)n(t,x)dx

Analysis of mathematical model

为验证耦合ODE-PDE系统（1）-（5）的数学合理性，我们通过[31][32]的方法分析其解的整体存在性与唯一性。

需假设模型系数满足以下正则性条件：

Condition 1

配体动力学中假设γ, κ(x)几乎处处为正，且α∈L^∞(Ω)。

Condition 2

细胞群体动力学中假设：

(i) μ, σ, β, δ关于x满足Lipschitz连续性，且σ有正下界；

(ii) 所有函数在L^∞范数下有界。

Numerical simulation and model-based data analysis

我们引入数值模拟方法研究PDE-ODE系统的过程动力学，并提出基于实验数据的参数估计与不确定性分析方法。为确保可重用性，相关代码已开源。

Applications

通过两个应用案例展示方法的普适性：（i）肠道隐窝细胞群体动态的模拟研究，探讨细胞通讯如何调控干细胞维持；（ii）基于单细胞数据的参数估计研究，评估配体依赖性信号在树突细胞激活中的作用。

Discussion

细胞通讯是调节细胞群体动态与平衡的关键生物过程。本研究通过扩展Fischer等人的"伪动力学"框架，提出的PDE-ODE系统能同时捕捉细胞状态分布与配体浓度的时序演化。模型的灵活性体现在：允许细胞状态依赖的配体产生、受体介导的内化，以及配体浓度调控的细胞行为（如增殖、分化）。数学分析证明了解的唯一性，数值实现支持复杂生物过程的模拟与参数推断。