协方差矩阵自适应Metropolis算法：高效解决高维非高斯贝叶斯反问题的MCMC采样新方法

本文提出了一种创新的协方差矩阵自适应Metropolis（CMAM）算法，通过将种群式（μ/μw, λ）-CMA-ES优化策略与Metropolis采样相结合，有效解决了高维、多峰贝叶斯反问题中的采样难题。该算法采用多链并行机制和解耦适应策略，在保持马尔可夫性的同时实现了提案分布的方向与尺度动态自适应。理论证明其满足遍历性，数值实验表明仅需问题维度20%的链数即可达到与DREAMzs等先进方法相当的收敛精度，在地下水文参数反演中展现出卓越应用潜力。

　　

Section snippets

Brief description of the Metropolis algorithm

Metropolis-Hastings（MH）算法是采样目标概率密度函数π(x)的通用MCMC方法，其中x表示d维参数向量。在贝叶斯推断中，π(x)通常对应未归一化的后验密度π(x) ∝ L(x)π₀(x)，融合了似然函数L(x)和先验分布π₀(x)。该算法通过迭代构建马尔可夫链收敛至目标分布——每次迭代中，从提案分布生成候选状态，并通过Metropolis接受概率决定是否跳转，形成一条遍历参数空间的随机游走路径。

Numerical examples

本研究使用Python实现算法，并采用开源库cmaes中的（μ/μ_w, λ）-CMA-ES模块。通过五个数值算例测试性能，其中前三个算例具有解析目标密度，便于与竞争算法进行严格比对。评估指标借鉴Vrugt等人（2009a）的方法，以函数评估次数（FE）作为效率衡量标准。

Concluding remarks

本文提出的CMAM算法巧妙融合了CMA-ES进化优化原理与Metropolis算法的概率框架。通过解耦适应与采样过程，利用种群式CMA-ES更新动态调整提案分布的方向（通过协方差矩阵）和尺度（通过步长），同时通过MH接受规则确保马尔可夫转移。理论分析证实了该方法的渐近收敛性，数值实验则展示了其在高维和多峰场景中的卓越性能。水文地质案例进一步证明CMAM能准确重构空间异质参数场，为复杂环境系统的贝叶斯推断提供了强大工具。

CRediT authorship contribution statement

张坤： 负责初稿撰写、可视化、验证、软件实现、方法论构建、形式化分析与概念化；吴辉： 负责评审编辑、验证、监督、项目管理、方法论优化、资金获取与形式化分析；张江江： 参与评审编辑、验证与形式化分析；吴松军： 参与评审编辑、验证与形式化分析。