基于新余弦变换的Weibull分布扩展模型及其在生存分析中的应用研究

为解决传统Weibull分布在复杂生存数据分析中的局限性，研究人员提出新余弦-Weibull（NC-Weibull）分布模型。该模型通过引入余弦变换参数λ，显著提升了分布形态的灵活性，能够更好地拟合右偏、对称、左偏及递减型数据，并呈现多样化的风险函数形态。研究通过量化分析证明NC-Weibull分布在真实数据集中具有优越的拟合性能，对可靠性工程和医学生存分析领域具有重要意义。

　　

在生存分析和可靠性工程研究中，准确建模时间至事件数据（如设备故障时间或患者生存时间）的分布特性至关重要。传统Weibull分布因其数学简洁性和可解释性被广泛应用，但其固定形态限制了在复杂数据场景（如多峰风险率或非单调失效模式）中的适应性。近年来，通过变换函数扩展基础分布成为提升模型灵活性的重要途径，其中三角函数因能捕捉周期性或对称性特征而受到关注。

为此，研究人员在《Journal of Radiation Research and Applied Sciences》发表论文，提出一种基于新余弦变换的Weibull分布扩展模型（NC-Weibull分布）。该模型通过引入余弦函数对传统Weibull分布进行变换，新增形状参数λ，从而形成具有四参数（α, θ, λ, Ξ）的复合分布。研究旨在解决传统模型无法充分拟合复杂形态数据的问题，并为实际应用提供更优的统计工具。

研究采用的主要技术方法包括：

1. 1.

   分布构建理论：基于余弦函数变换基分布累积分布函数（CDF）的生成方法；

2. 2.

   统计性质推导：解析计算概率密度函数（PDF）、生存函数（SF）、风险函数（HF）、反风险函数（RHF）及分位数函数（QF）；

3. 3.

   参数估计：采用最大似然估计法（MLE）并通过蒙特卡洛模拟验证估计量的渐近性质；

4. 4.

   模型验证：使用两组真实数据集（碳纤维断裂强度数据和白血病患者缓解时间数据）进行拟合优度检验，并通过AIC（Akaike信息准则）、BIC（贝叶斯信息准则）、CAIC（校正AIC）和HQIC（Hannan-Quinn准则）比较NC-Weibull与传统模型的性能。

模型构建与统计性质

通过将余弦变换函数G(u;λ,Ξ) = [1 - cos(π/2 · ?(u;Ξ))] / [1 - λ? cos(π/2 · ?(u;Ξ))]应用于传统Weibull分布，得到NC-Weibull的CDF：

F(u;λ,Ξ) = 1 - [ (1 - cos(π/2 · e^?θuα)) / (1 - λ? cos(π/2 · e^?θuα)) ]^λ

其概率密度函数呈现复杂形态：

f(u;λ,Ξ) = [πλ2αθu^α?1e^?θuα sin(π/2 · e^?θuα) (1 - cos(π/2 · e^?θuα))^λ?1] / [2(1 - λ? cos(π/2 · e^?θuα))^λ+1]

研究表明，通过调节参数λ和α，该密度函数可呈现右偏、对称、左偏及严格递减四种形态，而风险函数可呈现递减、递增、单峰及修正单峰四种模式，显著优于传统Weibull的单调性限制。

分位数函数与统计度量

NC-Weibull分布的分位数函数具有显式解析形式：

u_q = [ -1/θ · log( 2/π · cos^?1( (1 - (1 - q)^1/λ) / (1 - λ? (1 - q)^1/λ) ) ) ]^1/α

基于该表达式，研究进一步推导了四分位数、偏度（Galton偏度系数）和峰度（Moors峰度系数）的数学表达式。模拟分析表明，通过调节参数，偏度可在正负区间灵活变化，峰度可捕获多种尾部特征，证明该分布对复杂数据结构的描述能力。

参数估计与模拟研究

采用最大似然估计法对参数(α, θ, λ)进行估计。通过蒙特卡洛模拟（样本量n=50, 100, 200, 500）评估估计量的偏差（Bias）和均方根误差（RMSE）。结果表明：

• •

  所有参数估计的Bias和RMSE随样本量增加而减小，符合渐近无偏性；

• •

  大样本下（n≥200）估计精度显著提升，验证了MLE方法的有效性。

实证分析

研究使用两组真实数据验证模型实用性：

1. 1.

   碳纤维断裂强度数据（n=50）：NC-Weibull分布的AIC（84.21）、BIC（90.75）等指标均优于对比模型（如Weibull、Kumaraswamy-Weibull等）；

2. 2.

   白血病患者缓解时间数据（n=50）：NC-Weibull同样表现出最低的信息准则值（AIC=153.11）。

   似然比检验进一步证明，NC-Weibull在统计显著性上优于传统模型（p<0.05）。

结论与意义

NC-Weibull分布通过余弦变换有效扩展了传统Weibull分布的形态灵活性，其数学性质完整且计算可实现。该模型不仅能更好地拟合复杂数据模式，还提供了显式分位数函数，便于实际应用中的随机数生成和统计推断。在工程可靠性和医学生存分析中，NC-Weibull为描述非单调风险率的数据提供了新工具，未来可进一步探索其在回归模型和贝叶斯分析中的应用潜力。