在 $\mathbb{R}$ 中的梯度树与在 $T^{*}\mathbb{R}$ 中的全纯圆盘之间的显式对应关系

《Analysis and Mathematical Physics》：Explicit correspondences between gradient trees in \(\mathbb {R}\) and holomorphic disks in \(T^{*}\mathbb {R}\)

研究T*M中由L_i^ε界定的伪全纯盘与M中梯度树的对应关系，当ε趋近于0且Lagrange截面数目为3、4时，伪全纯盘收敛于梯度树。

　　

摘要

Fukaya和Oh研究了在\(T^{*}M\)中由拉格朗日截面\(\{L_{i}^{\epsilon }\}\)界定的伪全纯圆盘与在M中由\(\{f_{i}-f_{j}\)的梯度曲线构成的梯度树之间的对应关系。这里，\(L_{i}^{\epsilon }\)定义为\(L_{i}^{\epsilon }=\)图\((\epsilon df_{i})\)。当\(\epsilon >0\)且足够小时，他们构造了近似伪全纯圆盘。当\(M=\mathbb {R}\)且拉格朗日截面为仿射截面时，伪全纯圆盘\(w_{\epsilon }\)可以明确构造出来。在本文中，我们证明了当拉格朗日截面的数量为三和四时，在\(\epsilon \rightarrow +0\)的极限情况下，伪全纯圆盘\(w_{\epsilon }\)会收敛到相应的梯度树。