刘维尔理论中S矩阵的递归关系

《FORTSCHRITTE DER PHYSIK-PROGRESS OF PHYSICS》：Recursive Relations for the S-matrix of Liouville Theory

该论文研究 Liouville 理论中散射矩阵的顶点算符方法，推导正常符号递推关系并证明其等价于功能积分表示。首先分析经典场论中的顶点算符关系，进而建立量子化模型中的算符对易关系，并利用准周期性条件将问题转化为多变量积分。通过引入复变量积分和几何级数求和技巧，将递推关系表达为多 contour 积分形式，最终验证了与先前功能积分方法的一致性，为非对易量子场论中的散射问题提供了新的解析工具。

　　在量子场论中，Liouville理论以其作为典型的二维相互作用场论而闻名，其具有精确解的性质。这种理论不仅是可积的，而且在量子理论中保持共形不变性。本研究探讨了Liouville理论中入射场和出射场之间的顶点算符关系，并由此推导出散射矩阵（S-matrix）的方程，从而得到了离散质心动量下的S矩阵的正则关系。这些关系可以表示为多重积分形式，类似于Dotsenko–Fateev积分，与之前提出的Liouville理论散射矩阵的函数积分表示一致。

在Liouville理论中，散射矩阵是描述粒子相互作用的量子态之间的重叠，即在不同时间的入射态和出射态之间的关系。通过引入经典的Liouville场的渐近态，研究了它们的傅里叶展开形式，并分析了这些场之间的共形关系。经典场的渐近态在时间趋于无穷时趋于自由无质量场，而顶点算符则是对这些场进行指数运算的结果。

在量子场论中，我们使用经典的共形关系，并引入了量子场的正则化形式。通过这些关系，我们能够将出射场的指数算符用入射场的指数算符来表示，从而确定了它们之间的共形结构。此外，研究了顶点算符的正则化，即它们在时间演化的过程中如何保持一致性。通过这些分析，得到了关于散射矩阵的正则关系，并进一步验证了这些关系的物理合理性。

研究中还讨论了散射矩阵的表达形式，特别是其在离散动量下的情况。对于离散动量值，散射矩阵的函数积分表示可以简化为有限维积分，这为进一步计算提供了便利。通过这些关系，我们能够推导出散射矩阵的多重积分表达式，这与之前从功能积分表示中得出的结果一致。这种多重积分形式的表达式不仅有助于理解散射矩阵的结构，还为计算其在特定动量下的具体值提供了方法。

研究还涉及到对散射矩阵的递归关系的推导，这些关系基于入射场和出射场之间的相互作用。通过引入对称性条件和要求散射矩阵的共形性质，我们能够推导出散射矩阵的递归关系，并进一步通过这些关系求解散射矩阵的表达式。这些结果与Liouville理论中已知的散射矩阵的表达式一致，并且在特定动量下提供了新的计算方法。

最后，我们通过多重积分形式的表达式，进一步分析了散射矩阵的结构。这些积分形式不仅适用于离散动量，还能够在某种方式下推广到连续动量的情况。通过这些分析，我们验证了之前提出的散射矩阵的表达式，并且进一步确认了其在量子场论中的适用性。这些研究为理解Liouville理论中的相互作用提供了新的视角，并为进一步的理论发展奠定了基础。