张量分解和包络模型中的维度选择

《Journal of Multivariate Analysis》：Dimension selection in tensor decompositions and envelope models

张量数据统计分析中提出统一框架解决低秩结构维度选择问题，涵盖无监督张量分解（如PCA、Tucker）和envelope回归模型，改进阈值ridge比率方法提升小样本适应性及计算效率，理论证明维度选择一致性，并通过数值实验验证有效性。

　　本文探讨了张欣、赵文标和朱利星三位研究人员在张量数据统计分析领域的重要贡献。他们提出了一种统一的方法论，用于解决张量数据的结构维度选择问题，该方法适用于多种张量分解框架和包络回归模型。张量数据作为一种高维数据形式，在多个实际应用中扮演着关键角色，例如信号处理、神经影像学、社交网络分析、图形模型以及足够的维度缩减等。在这些应用中，张量数据通常具有潜在的低维结构，这种结构可以是张量分解中的低秩特性，也可以是包络模型中的低维子空间。确定张量的秩或子空间维度对于理论和实际问题都具有重要意义，因此，本文致力于研究在统一框架下如何进行张量秩和维度的选择。

在张量数据的分析中，低秩结构是一个常见的假设。这种结构可以简化数据的表示，使得高维张量能够被有效地建模和处理。张量分解是处理这种结构的一种方法，它通过将张量分解为多个低秩因子的组合，从而提取出重要的特征和模式。例如，张量主成分分析（Tensor PCA）是一种常用的无监督方法，它通过找到张量的主成分来减少数据的维度。而 Tucker 分解则是一种更为通用的张量分解方法，能够捕捉张量在不同模式下的低秩结构。这些方法通常依赖于高阶奇异值分解（HOSVD）算法来实现。然而，这些方法在实际应用中面临一个共同的挑战：如何准确地选择适当的秩或子空间维度。

为了应对这一挑战，本文引入了一种基于岭型准则的统一框架。该框架首先针对矩阵的秩选择问题进行了探讨，并随后扩展到张量的维度选择。具体来说，研究者们提出了一种新的阈值岭比（Thresholded Ridge Ratio, TRR）方法，用于估计张量参数矩阵的秩。TRR 方法基于样本矩阵的估计，并结合了对秩选择的阈值处理。该方法在理论上具有良好的一致性，即在一定的正则条件下，能够准确地选择出真实的秩。此外，TRR 方法在实际应用中表现出较高的计算效率和良好的鲁棒性，因为它减少了对调参参数的依赖，从而降低了模型选择过程中的不确定性。

在张量主成分分析（Tensor PCA）模型中，张量数据被近似为低秩张量与误差项的组合。该模型假设张量数据中存在一个低秩结构，并通过找到主要的特征向量来提取这些结构。研究者们指出，这种模型在实际应用中可以有效捕捉张量数据中的主要变化模式，同时减少数据的冗余性。然而，由于张量数据的高维特性，传统的秩选择方法在张量 PCA 模型中可能面临计算复杂性和模型稳定性的问题。为此，研究者们提出了一种基于 TRR 的方法，该方法不仅适用于张量 PCA，还能够推广到其他张量分解模型，如 CP 分解。

在张量包络模型（Tensor Envelope Model）中，研究者们进一步探讨了如何在有监督的回归框架下选择张量结构的维度。与传统的张量分解模型不同，张量包络模型同时考虑了条件均值和协方差结构，这使得模型选择过程更加复杂。为了应对这一挑战，研究者们提出了一种基于 TRR 的扩展方法，用于估计张量包络模型的维度。该方法在计算上具有较高的效率，并且能够有效处理小样本情况下的模型选择问题。此外，该方法还能够减少对多个局部最小值的依赖，从而提高模型选择的稳定性。

在理论分析部分，研究者们讨论了 TRR 方法在固定维度和发散维度情况下的表现。他们指出，在固定维度的情况下，TRR 方法的秩选择一致性是直接由估计过程的设定所决定的。通过应用 [16] 中的定理 3.1，并进行一些技术推导的修改，可以得出 TRR 方法在固定维度情况下的一致性结果。在发散维度的情况下，TRR 方法同样表现出良好的性能，因为它能够适应不同规模的数据，并且在一定程度上减少对调参参数的依赖。这种灵活性使得 TRR 方法在实际应用中具有广泛的适用性。

在数值研究部分，研究者们通过独立生成 200 个数据集，评估了 TRR 方法在不同模型设置下的表现。他们总结了正确维度选择的次数，以及过选和欠选的情况。结果显示，TRR 方法在大多数情况下能够准确地选择出真实的维度，同时在小样本情况下表现出较低的敏感性。这表明 TRR 方法不仅在理论上具有良好的性质，而且在实际应用中也具有较高的可靠性。

此外，研究者们还讨论了 TRR 方法在张量数据分析中的潜在优势。首先，TRR 方法能够统一处理多种张量分解模型和包络回归模型，这使得它在实际应用中更加灵活。其次，TRR 方法在计算上具有较高的效率，因为它避免了复杂的优化过程，并且能够快速收敛到最优解。最后，TRR 方法在模型选择过程中表现出良好的鲁棒性，因为它减少了对调参参数的依赖，从而降低了模型选择的不确定性。

在实际应用中，TRR 方法可以用于多种张量数据处理任务。例如，在信号处理中，张量数据可以表示为多维信号的组合，TRR 方法可以帮助确定信号的主要成分。在神经影像学中，张量数据可以表示为脑部图像的多维结构，TRR 方法能够帮助提取关键的脑部活动模式。在社交网络分析中，张量数据可以表示为多维社交关系的组合，TRR 方法能够帮助识别重要的社交结构。在图形模型中，张量数据可以用于表示复杂的网络结构，TRR 方法能够帮助提取关键的网络特征。在足够的维度缩减中，TRR 方法能够帮助确定数据的最优维度，从而提高模型的效率和准确性。

总的来说，本文提出了一种基于 TRR 的统一方法，用于解决张量数据的结构维度选择问题。该方法不仅适用于多种张量分解模型，还能够推广到包络回归模型。TRR 方法在理论和实际应用中均表现出良好的性能，它能够有效处理小样本情况下的模型选择问题，并且在计算上具有较高的效率。研究者们相信，TRR 方法的提出将为张量数据的统计分析提供新的思路和工具，从而推动相关领域的进一步发展。