风险厌恶双方的不对称纳什保险谈判：比例保险合同的最优设计与比较静态分析

《ASTIN Bulletin: The Journal of the IAA》：Asymmetric Nash insurance bargaining between risk-averse parties

本文研究了风险厌恶的投保人与风险厌恶的保险人之间就比例保险合同进行的非对称纳什讨价还价问题。研究人员探讨了现状的帕累托最优性条件，并推导出当现状被帕累托占优时的最优纳什谈判解。研究发现，在递减绝对风险厌恶（DARA）和保险人初始财富与可保风险负相依等条件下，最优保险覆盖比例和保费随投保人风险厌恶程度及保险人议价能力的增加而增加。该研究为理解风险厌恶主体间的保险合约设计提供了新的理论视角。

　　

在保险经济学领域，如何设计出既能满足风险厌恶的投保人转移风险需求，又能让风险厌恶的保险人愿意承保的合约，是一个经典而重要的问题。传统的保险合约理论，如Arrow（1963）的开创性工作，常常指出止损（stop-loss）赔偿函数是最优的。然而，这类合约设定了免赔额，一旦损失超过免赔额，投保人可能缺乏进一步控制损失的动机，从而引发道德风险问题。作为一种流行的替代方案，比例保险（投保人承担部分增量损失）在实践中广泛应用，但其在双边风险厌恶且存在谈判情形的下的最优设计机制，仍有待深入探讨。此外，许多现有模型依赖于保险人的无差异定价或均衡论证，这可能使得交易一方对是否参与保险持无所谓态度。而非对称纳什讨价还价解作为一种直接替代方案，能确保交易双方均严格从保险交易中获益。

在此背景下，香港大学的Tim J. Boonen和中央财经大学的Yichun Chi在《ASTIN Bulletin: The Journal of the IAA》上发表了题为“Asymmetric Nash insurance bargaining between risk-averse parties”的研究论文。该研究旨在探讨一个风险厌恶的投保人与一个初始财富随机且同样风险厌恶的保险人之间，就比例保险合同进行的非对称纳什讨价还价问题。研究的核心是解决以下问题：在什么条件下，不购买保险（即现状）是有效的？当保险交易有益时，如何通过谈判确定最优的保险比例和保费？哪些因素（如双方的风险厌恶程度、议价能力、保险人的初始财富等）会影响最终的合约条款？

为了回答这些问题，研究人员建立了一个理论模型框架。该模型假设投保人和保险人均遵循冯·诺依曼-摩根斯坦（von Neumann and Morgenstern）期望效用理论，并寻求提升各自的期望效用。投保人拥有初始财富w₀，面临一个非负、有界的随机损失X。她可以购买一份比例保险合同，其中赔偿函数为I_θ(x) = θx（θ ∈ [0,1]代表保险比例），并支付保费P。保险人拥有可能随现有业务波动的随机初始财富W₁，并承担比例θ的损失赔偿，同时收取保费P，但需要考虑一个死重成本率τ（τ ≥ 0）来覆盖运营成本。研究的可行性建立在谈判集S是紧凸集的基础上，这确保了纳什讨价还价解的存在性和良好性质。

研究主要应用了非合作博弈论中的非对称纳什讨价还价解概念，并结合了微观经济学中的期望效用理论、风险厌恶度量（如Arrow-Pratt绝对风险厌恶系数）以及随机序（如逆失效率序 reversed hazard rate order）等工具进行理论推导和比较静态分析。

研究结果

现状的帕累托最优性

研究首先给出了现状（即不保险，θ=0, P=0）是帕累托最优的一个充要条件。具体而言，当且仅当投保人的边际福利改善（E[u'(w₀-X)X] / E[u'(w₀-X)]）小于等于保险人的边际成本（(1+τ) E[v'(W₁)X] / E[v'(W₁)]）时，现状是帕累托最优的，此时没有保险交易会发生。这个条件在死重成本τ足够高、或者保险人的初始财富W₁与风险X以某种方式正相依（例如，W₁随X随机递减）时更容易被满足。特别地，当W₁与X独立时，该条件简化为一个与保险人风险厌恶程度无关的表达式，并且当τ=0时，几乎只有在X是确定性变量的情况下，现状才是帕累托最优的。研究假设该条件不成立（即现状被帕累托占优），从而保险交易有潜在利益空间。

最优纳什讨价还价解

当保险交易有益时，研究求解了非对称纳什讨价还价问题，以确定最优的保险比例θ和保费P。解的唯一性得到证明。最优解由一组一阶条件刻画，这些条件平衡了双方边际效用变化的加权比例，其中权重δ ∈ (0,1)代表保险人的议价能力。分析表明，在一般条件下，足额保险（θ=1）通常不是最优的，除非在非常极端的情况下（例如τ很小且W₁与X有特定的随机相依关系）。这意味着在双边风险厌恶和谈判环境下，部分保险（θ<1）往往是更优的选择。

比较静态分析

研究深入分析了各种外生参数变化对最优合约（θ, P）的影响：

1. 1.
   投保人风险厌恶程度：在投保人和保险人均为DARA效用函数，且保险人初始财富-W₁在失效率序意义下随X递增（即-W₁↑_hrX）的假设下，研究发现，随着投保人变得更具风险厌恶（在Arrow-Pratt意义上），最优保险比例θ和保费P都会增加。这是因为更风险厌恶的投保人愿意支付更高保费以转移更多风险。
2. 2.
   保险人议价能力：同样在DARA和-W₁↑_hrX的假设下，保险人的议价能力δ增加会导致最优保险比例θ和保费P上升。这意味着议价能力更强的保险人能够索要更高的价格并提供更多的保障，但这以投保人福利改善的减少为代价。这一发现可以在不引入行为因素的情况下解释实践中观察到的过度保险偏好现象。
3. 3.
   保险人初始财富：在保险人具有DARA效用函数且投保人具有常数绝对风险厌恶（CARA）效用函数的特定假设下，研究发现，随着保险人（确定性）初始财富w₁的增加，最优保险比例θ*会增加。因为更富有的保险人在DARA假设下风险厌恶程度降低，会要求更低的风险溢价，从而激励投保人购买更多保险。
4. 4.
   背景风险：通过设定W₁= 100 - kX来模拟保险人的背景风险，研究发现，背景风险（k值增大）越大，最优保险覆盖θ和保费P都越低。背景风险的微小变化（如k从正变负）对最优合约的影响是连续的。

数值示例

研究通过数值算例验证了理论结果。例如，当设定特定参数（w₀=20, u(w)=-w^-1, v(w)=w^0.6, W₁=100, τ=0.4）时，计算显示最优（θ, P）随保险人议价能力δ增加而增加。研究还考察了投保人使用CRRA（常数相对风险厌恶）效用函数、非DARA效用函数等不同情形，展示了理论结果的稳健性及假设放松后可能出现的不同模式。

研究结论与意义

本研究系统分析了风险厌恶的投保人与风险厌恶的保险人之间比例保险合同的不对称纳什讨价还价问题。研究的主要结论是，在合理的假设下（如DARA、保险人初始财富与风险负相依），通过纳什谈判达成的保险合约通常是部分保险而非足额保险。最优保险覆盖和保费受到双方风险厌恶程度、议价能力、保险人初始财富以及背景风险等多种因素的显著影响。

这项研究的意义在于：首先，它将纳什讨价还价框架应用于双边风险厌恶的保险情境，并聚焦于实践中常见的比例保险形式，丰富了最优保险合约理论。其次，研究揭示了在保险人 also 是风险厌恶者的更现实设定下，传统的最优保险形式（如止损保险）可能不再适用，而比例保险在谈判框架下能产生可行的解。第三，研究提供了丰富的比较静态结果，深化了我们对影响保险合约条款因素的理解，例如，即使没有死重成本，只要保险人的初始财富与风险负相依，足额保险也可能不是最优的。最后，研究指出，投保人风险厌恶程度增加或保险人议价能力增强，都会导致更高的保险覆盖，这为理解保险市场需求和合约设计提供了新的见解。

研究者也指出了本工作的局限性，例如严重依赖比例保险的假设，未来研究可探索其他保险形式（尽管止损保险可能因导致谈判集非凸而带来挑战）。此外，关于保险人初始财富对保险覆盖影响的结论是在投保人为CARA效用函数的严格假设下得到的，放松此假设后的结论是否成立值得未来探讨。这些工作为后续研究开辟了方向。