对称带状结构保持的无溢出有限元模型更新方法及其在结构系统中的应用

本文针对无阻尼结构系统，提出了一种基于模态测试数据和线性投影算子FL的迭代有限元模型更新方法（FE model updating）。该方法能够在保持质量矩阵和刚度矩阵对称带状结构（symmetric band structure）的前提下，实现无溢出（no spill-over）的精确模型修正，有效解决了传统方法破坏物理连通性和引入虚假载荷路径的问题。通过数值算例验证了算法的高精度和高效性，对结构健康监测（SHM）和动态优化设计具有重要意义。

　　

The solution of problem MUPU

假设L是某类n×n对称带状矩阵的集合，显然L构成SR^n×n的线性子空间。对任意矩阵Z∈SR^n×n，可唯一分解为Z=Z₁+Z₂，其中Z₁∈L，Z₂=Z?Z₁，且满足〈Z₁,Z₂〉=tr(Z₂^?Z₁)=0。由此可定义线性投影算子F_L: SR^n×n→L，即Z→F_L(Z)=Z₁。显然，对任意Z∈SR^n×n和?∈L，有〈Z,?〉=〈F_L(Z)+F_L^⊥(Z),?〉=〈F_L(Z),?〉。利用这一思想，

Numerical examples

Example 1

考虑一个简单桁架结构（Lee & Eun, 2009）（见图1）。所有杆件的弹性模量、截面积和密度分别为200 GPa、2.5×10^?3 m²和7860 kg/m³。当第三和第八号杆件截面积分别减少20%和30%时（忽略噪声误差），该桁架结构可描述为一个9自由度（9-DOF）动力学系统。原始模型系数矩阵由M_A和K_A给出（具体数值略）。

Conclusion

本文利用线性投影算子F_L1和F_L2构建了求解MUPU问题的迭代算法。基于该算法，我们在有限迭代步数内获得了最优更新的质量矩阵M?和刚度矩阵K?。所提出的数值方法不仅能保持原始质量矩阵和刚度矩阵的对称性和稀疏性，还能确保更新无溢出（no spill-over）。三个数值算例证明了算法的有效性。

CRediT authorship contribution statement

Xianlu Liao: 撰写-初稿及修订，验证。Yongxin Yuan: 撰写-修订，监督，方法论。

Declaration of competing interest

作者声明不存在任何可能影响本研究成果的已知竞争性经济利益或个人关系。

Acknowledgments

作者感谢匿名审稿人和编辑提出的宝贵意见和建议，这些意见显著提升了本文的质量。