非局域力学超材料中的孤子模式转换：边界诱导的弹性孤子向拓扑孤子转变

本综述揭示了非局域力学超材料（MM）中一种新颖的孤子行为：弹性孤子（非拓扑）在遭遇边界缺陷时发生模式转换，形成反向传播的拓扑孤子。这一现象由非局域耦合诱导的重构势能景观和能量传递路径改变所驱动，区别于局域系统中孤子反射后形态保持不变的传统认知。研究通过理论分析和数值模拟证实了该现象的一致性和可重复性，深化了对孤子输运的理解，并凸显了非局域性在非线性动力学中的根本作用，为可调谐能量传输和波基功能器件设计提供了新途径。

　　

引言

非线性波现象因其丰富的动力学行为和在能量传输、信号处理及振动控制中的潜在应用，长期以来一直是物理学和工程领域的核心课题。其中，孤子作为一类高度局域且稳定的非线性激发，因其无弥散或无衰减的传播能力而备受关注。孤子最初由John Scott Russell在运河中观察到，后被Korteweg-de Vries方程形式化描述。在过去一个世纪里，孤子在多种物理系统中被识别，包括光纤、等离子体和凝聚态系统。由于其卓越的稳定性和局域性，孤子成为跨学科功能技术的基石。在光学中，它们实现无弥散数据传输、频率梳生成和超快切换；在流体和等离子体中，它们组织长程能量传输，与波浪预测、湍流控制和激光-等离子体加速相关。近年来，孤子日益被探索作为机械信息处理的构建模块，包括机械计算、冲击缓解和能量路由。

在机械系统中，最早对孤子的系统研究是在颗粒晶体中进行的，因其固有的离散和强非线性特性。Nesterenko等人首次证明一维颗粒链可以维持高度局域、无弥散的压力波。此后，广泛的研究加深了对颗粒晶体中孤子动力学的理解，包括孤子碰撞、缺陷散射、耗散效应和边界响应。然而，由于其固定的拓扑和基于接触的相互作用，颗粒系统在定制非线性方面灵活性有限。为克服这些限制，研究人员逐渐转向机械超材料（MM），这是一种具有架构单元几何结构和可调本构响应的工程介质。在线性MM中，已展示了广泛的波操纵功能，包括负折射、隐身和定向能量通道。此外，非线性MM通过结合几何、材料和接触非线性，提供了更丰富的设计空间，引发出现象包括振幅依赖的带隙、自适应展宽效应和可编程形状变换。

在孤子动力学中，非线性MM展示了更自由地操纵色散和非线性之间相互作用的能力，从而实现更丰富的孤子传播形式。最近进展显著扩展了MM中孤子现象的范围，揭示了多样化的孤子行为。例如，基于铰链连接晶格的超材料已被证明支持弹性矢量孤子——具有耦合平移和旋转运动的局域脉冲，其中几何非线性和色散之间的平衡实现了无弥散传播和偏振依赖相互作用。在拓扑工程结构中，拓扑孤子（或过渡波）作为鲁棒的畴壁式激发出现，能够在非互易耦合下自推进，甚至在与摩擦接触元件集成时产生净运动。理论研究通过提供对孤子动力学的分析见解进一步丰富了这一领域。例如，Deng等人为双稳态弹簧-质量晶格中的拓扑孤子开发了精确解析模型，揭示了系统参数如何影响波速、脉冲形状和稀疏锋的形成。Demiquel等人使用非线性薛定谔框架预测了柔性晶格中的旋转包络孤子。

然而，这些孤子行为大多在具有局域相互作用的系统中被探索。通过超越最近邻相互作用，非局域超材料实现了对能带结构工程、波折射和倏逝模衰减的前所未有的控制——跨越弹性、声学和电磁学领域。理论上，非局域耦合将高阶傅里叶分量引入色散关系，导致多个极值、负群速度和平坦或“类Roton”色散。此类光谱特征产生长倏逝波衰减长度和对边界条件的高度敏感性。实验上，多种物理平台已成功实现非局域耦合。在弹性领域，Chaplain等人设计了一种使用Meccano基链接的超材料以实现非局域耦合，并实验观察到具有明显相反相位和群速度方向的反向波。Zhu等人通过3D打印制造了具有地下非局域耦合的超表面，观察到负色散的局域表面波。在体弹性背景下，Bossart和Fleury采用3D打印的非局域谐振结构展示了亚波长尺度的极端空间色散。在声学中，具有嵌入地下空腔的超材料实现了跨单元非局域耦合，实验证实了非平凡传输现象，如负色散和定向管道化。在电磁学中，故意引入横向非局域耦合的漏波超表面实验证明了波矢依赖的波束控制和孔径合成。这些发展证明了非局域耦合在实际原型中的可行性，并直接为非局域超材料的设计原则提供了信息。

当与非线性效应结合时，非局域性实现了可调的Roton和Maxon点，支持反向波传播，并导致振幅依赖的色散。一个自然的下一个问题是：孤子在非局域系统中如何行为？据作者所知，这仍是一个开放的研究领域，使得理论调查既及时又必要。

本工作揭示了非局域耦合非线性系统中一种边界触发的孤子模式转换。当弹性孤子撞击固定边界时，它直接转换为反向传播的拓扑反孤子。这种转变由非局域相互作用驱动，该相互作用重塑了势能景观并实现了长程能量重新分布。与碰撞诱导的孤子转变不同——后者需要体相中的波干涉和成核——这里的机制仅由单个孤子与边界相互作用 initiated。我们通过结合理论和数值研究继续分析这种边界诱导的模式转换。

分析模型与数值分析

本研究中考虑的分析模型由n个单元组成，每个质量为m，以晶格常数a周期排列在一维链中。链的边界条件为左端自由，右端固定。每个单元仅允许沿x方向移动。单元通过两种不同类型的弹簧连接：一种是局域最近邻连接，使用非线性双稳态弹簧；另一种是非局域长程连接，间距为r（r > 1）个单位，使用线性弹簧。在本研究中，我们关注第三最近邻相互作用（r=3）的情况，它引入了足够强的长程耦合以诱导非局域效应，同时保持模型分析上易处理。机制上，非局域耦合引入长程力，作用于相隔r个位点的单元，从而建立直接的超越最近邻路径，在空间分离的单元之间传输和聚焦能量。该分析模型的哈密顿量可表达为方程（1）。

这里，是位移的时间导数（对t），代表第j个单元的速度。邻近单元之间的位移被视为相对的，因此离散应变（或无量纲相对位移）定义为。V_L表示局域双稳态弹簧的势能，定义为方程（2），其中k₁, k₂, k₃是势系数。当势函数具有两个局部最小值时，表现出双稳态行为，这发生在k₁ > 0, k₃ > 0, 且 k₂² > 4k₃k₁的条件下。高能稳态位于，低势稳态由给出。变量代表位置j处长程弹簧的离散应变，如方程（3）所示。V_N表示非局域线性弹簧的势，如方程（4）所示，其中k_N是正势系数。

拓扑孤子的传播意味着单元经历从高能态到低能态的逐渐过渡，导致大振幅非线性波的形成。这种转变反映了邻近高能和低能单元之间的固有失稳。为捕获和调节这种失稳，必须引入相邻局域弹簧（V_ALS）和相邻非局域弹簧（V_ANS）之间的相互作用项，由以下正则化势定义：方程（5）和方程（6），其中G_L和G_N是正势系数。方程（5）和（6）引入了正则化项，分别惩罚局域和非局域应变梯度差异。这些项通常在相场、应变梯度弹性模型和柔性MM中被采用，促进变形连续性并确保系统的数学适定性。特别地，它们能够实现稳定的孤子传播，并通过抑制相邻单元之间非物理的应变不连续性来促进解析解的推导。

基于哈密顿公式，推导出运动控制方程，如方程（7）所示。这里，F_L, F_N, F_ALS, F_ANS表示对应于各自势的力，详细如下：方程（8）和方程（9）。

对于具有明确定义初始和边界条件的动力系统，龙格-库塔方法提供了一种高效且准确的数值方法。基于控制方程，通过数值模拟研究孤子传播。模拟设置如下：1）模型参数：n = 2000, r=3, m=10 g, a=1 cm。2）局域势参数：k₁=1 J, k₂=20 J, k₃=80 J, G_L=1 J，导致和。3）边界条件：右端固定，强制执行和。4）初始条件：左端前十个单元设置为激发态，而其余单元处于高势稳态。

在所有数值模拟中，上述参数保持恒定，除了G_N, k_N和，这些参数被变化以评估非局域效应对孤子动力学的影响。

我们首先检查局域系统中的孤子传播。当非局域势系数设置为G_N=0 J和k_N=0 J时，非局域相互作用被消除，模型简化为纯局域系统。在双稳态系统中，当激发太弱无法推动单元越过能垒时出现弹性孤子，而当激发足够强以触发单元相变时出现拓扑孤子。在局域模型中，激发振幅为时，弹性孤子——即无相变的平移孤子波——从左端出现并以恒定速度传播。到达固定边界后，孤子被反射并以相同速度反向传播。到达自由边界后，反射孤子逐渐耗散其局域能量并最终消失。这种弹性孤子行为突出了局域系统的一个关键限制：它缺乏在反射后跨多个单元重新分布能量的机制。由于纯局域最近邻相互作用，反射波携带的能量仍然高度局域在孤子核心周围，与先前在类似双稳态系统中的观察一致。当初始激发足够强——具体为时——出现前向传播的拓扑孤子，并触发单元从高能稳态（相A）顺序转变为低能稳态（相B），以速度c_T=3.08 m s^?1传播。虽然此类拓扑孤子现象在文献中被广泛报道，但它们通常专注于前向传播，并未解决孤子模式转换过程。

扩展局域模型，分析了非局域模型中孤子的传播。非局域参数指定为G_N=1 J和k_N=0.024 J。初始激发选择为，这在局域系统中足以产生前向传播的拓扑孤子。相比之下，非局域系统表现出局域情况下未观察到的独特传播行为：当弹性孤子以恒定速度传播并到达固定边界时，其传播特性突然改变，导致从弹性（非拓扑）孤子到反向传播拓扑孤子的模式转换。这种现象的发生主要归因于非局域相互作用对非线性动力学的影响。一方面，非局域耦合重塑了原始局域系统的势景观。在相同激发条件下，非局域系统不会立即产生如局域情况中观察到的前向传播拓扑孤子。此外，非局域系统中单元的稳态构型与局域系统显著不同。另一方面，非局域相互作用增强了晶格的协作行为，允许能量传输跨越更广的空间范围。当局域弹性孤子到达固定边界——作为一个强缺陷——其能量通过非局域弹簧被重新分布和集中。这种重新分布使得边界附近的几个单元能够克服其修改后的势垒，最终触发模式转换。

此外，通过变化非局域势系数k_N同时保持所有其他参数固定，我们观察到孤子模式转换仅发生在非局域相互作用强度的特定范围内。当k_N较小（k_N=0.015 J）时，非局域效应弱，系统中仅观察到弹性孤子传播。随着k_N增加（k_N=0.030 J和k_N=0.060 J），开始出现反向传播拓扑孤子。在传播过程中，系统的单元并非直接从未变形状态（相A）过渡到新的低能稳态（相B）。而是首先通过压缩中间状态（相A），然后过渡到相B*，导致稀疏锋的形成。此外，在此势系数范围内，弹性孤子和反向传播拓扑孤子的速度与非局域相互作用强度成反比。当非局域势系数增加超过某个阈值（k_N=0.08 J）时，反向传播拓扑孤子消失，仅留下弹性孤子。

为更好地阐明孤子模式转换的关键条件，我们在由非局域系数k_N和G_N定义的参数空间中构建了相图。对于每个参数对，在先前相同条件下进行数值模拟，并将产生的波动力学分类为三种状态：i）类局域状态——当非局域效应太弱时，系统响应类似于纯局域情况，仅支持前向传播拓扑孤子；ii）仅弹性孤子状态——系统仅支持弹性孤子传播，波保持在原始相内，不触发拓扑孤子；iii）孤子模式转换状态——在非局域相互作用强度的有限窗口内，发生边界触发的模式转换。结果表明模式转换仅限于（k_N, G_N）空间的一个狭窄区域，强调其