综述：投影晶体对称性与拓扑相

《Materials Today Quantum》：Projective crystal symmetry and topological phases

量子态自然以对称群的形式表示，但通常为投影形式。近年来，晶体对称性的投影表示在凝聚态物理和人工晶体中被广泛研究，揭示了动量空间非对称性的深刻影响。投影对称性导致动量空间基本域拓扑变化，如二维的 Klein 瓶和三维的十种 platycosms，显著改变了拓扑相分类。例如，投影对称性使自旋无整数绝缘体的分类与自旋相关对称性互换。人工晶体通过工程化磁通配置成功实现此类对称性，而固体材料（如非共线自旋空间群磁铁和扭转莫尔新材料）也展现出应用潜力。未来研究需系统分析所有空间群投影表示、完善拓扑分类框架、探索更多物理实现及内对称性结合效应。

　　在过去的几十年里，科学家们对对称性在量子系统中的表现有了更深入的理解。通常，对称性可以用普通表示法来描述，但近年来的研究揭示了在晶格对称性中，项目性表示法（projective representations）可能带来前所未有的物理后果。这种现象在凝聚态物理以及各种人工晶格系统中尤为显著，尤其是在拓扑结构的形成方面。项目性表示法的引入使得晶格对称性的基本域在动量空间中发生变化，从传统的托尔斯（Torus）扩展到包括克莱因瓶（Klein bottle）在内的非定向空间结构，甚至在三维中，所有可能的紧致平坦流形（称为十种platycosms）都可以成为基本域的候选者。这一发现不仅拓宽了我们对拓扑结构的认识，还揭示了新的物理机制，比如拓扑分类的转变和新的拓扑相的出现。

项目性表示法的核心思想是，由于波函数的相位自由度与空间变换之间存在相互作用，普通表示法可能无法完全捕捉对称性的物理行为。例如，在晶体中，晶格平移对称性与镜像对称性之间的相互作用可能导致一种特殊的相位因子，从而改变它们的代数关系。这种相位因子通常被称为因子系统（factor system），它决定了对称操作的组合是否具有非平凡的相位特征。在传统情况下，这种相位因子为1，表示对称操作是可交换的。然而，在某些特殊条件下，因子系统可能包含非平凡的相位因子，导致对称操作之间的关系变得复杂，甚至产生非对称性。

这种非平凡的因子系统在动量空间中引入了非对称性（nonsymmorphic）的对称操作，比如动量空间中的螺旋轴和镜像滑移（glide mirror）。在普通表示法中，所有对称操作都是对称的，但在项目性表示法中，这些非对称操作可能会出现。这种现象在二维和三维晶体中都有体现。例如，在二维中，克莱因瓶作为基本域的出现，意味着动量空间的拓扑结构从托尔斯转变为非定向结构。而在三维中，基本域可以是十种platycosms之一，每种platycosm都有其独特的拓扑分类。

这些发现不仅丰富了我们对晶体对称性的理解，还推动了新的拓扑相的探索。比如，非对称性对称操作可以改变拓扑分类，使得原本只存在于无自旋系统中的拓扑相，现在也可能在有自旋系统中出现。此外，项目性对称性还可能影响内部对称性，如时间反演对称性、粒子-空穴对称性和手性对称性，从而形成更复杂的对称性结构。通过引入这些内部对称性，我们可以进一步细化项目性对称性框架，使其适用于更广泛的物理系统。

然而，尽管这些研究已经取得了一定的进展，项目性对称性仍是一个新兴的研究领域，许多问题尚未解决。首先，目前的研究主要集中在对称性群的普通表示法上，而对所有对称性群的项目性表示法仍需系统性的探索。其次，对于一般的项目性对称性，其拓扑分类仍是一个挑战，需要进一步的研究和理论发展。此外，项目性对称性与内部对称性的结合，以及其在不同维度中的表现，都是未来需要深入探讨的方向。

未来的研究可能会集中在几个方面。一方面，研究如何在实际材料中实现项目性对称性，而不仅仅是人工晶格系统。例如，某些磁性材料可能具有非对称的自旋空间群，这可能为项目性对称性的实现提供新的途径。另一方面，探索项目性对称性在物理性质上的具体表现，比如拓扑相的边界行为和体边界对应关系。这些研究不仅有助于理解新的拓扑相，还可能为未来的材料设计和量子技术提供理论支持。

总之，项目性对称性的研究为拓扑材料科学开辟了新的视野。通过引入非对称性操作，我们不仅扩展了拓扑分类的范围，还发现了新的物理机制。这些机制在人工晶格系统中已经被验证，但在实际材料中仍需进一步探索。随着研究的深入，项目性对称性可能会成为理解新型拓扑相的重要工具，为未来的材料设计和量子技术提供新的思路和方法。