具有非线性阈值控制的流行病Filippov系统的滑动动力学及余维数-2分岔现象

《Mathematics and Computers in Simulation》：Sliding dynamics and codimension-2 bifurcations of an epidemic Filippov system with nonlinear threshold control

阈值控制策略下的传染病动力学建模与分岔分析。基于非光滑Filippov系统，构建考虑易感人群规模及其变化率的饱和治疗函数阈值模型，系统探讨滑模切换、伪平衡点存在性及高维分岔现象，揭示控制策略对疾病传播动态的影响机制与复杂行为规律。

　　在人类历史长河中，传染病一直是威胁人类生命、健康与经济稳定的重要因素。从古代到现代，各种传染病的爆发常常导致社会秩序的混乱、经济损失的加剧以及公共健康系统的巨大压力。尤其是在21世纪，全球范围内出现了多次严重的传染病流行，如2020年爆发的新冠疫情，对全世界的公共卫生、经济结构和社会生活造成了深远的影响。面对这样的挑战，科学界和公共卫生领域一直在探索有效的防控策略，以期能够在疾病传播的早期阶段采取措施，防止疫情大规模扩散。

数学建模作为研究传染病传播和控制的重要工具，近年来在这一领域取得了显著进展。传统的传染病模型，如SIR模型，虽然能够提供基本的传播机制理解，但在面对实际复杂的防控措施时，往往显得不够灵活。为了更真实地反映现实中的防控策略，学者们引入了非光滑Filippov系统，这种系统能够模拟基于阈值的控制措施，如疫苗接种、隔离等，这些措施通常在特定条件满足时才被实施。Filippov系统通过设定切换边界，将系统划分为多个子系统，并在边界处引入滑动模式，从而更准确地描述防控措施的非线性特性。

在传染病防控中，控制策略的设计往往需要考虑多个因素，包括疾病的传播速度、当前的疫情状态以及不同群体的人口规模。然而，现有的模型在描述这些因素时，通常只关注某一特定变量，如感染人数或易感人数，而忽略了这些变量的变化率。这种简化可能会导致模型对实际防控措施的响应不够敏感，特别是在疾病传播迅速或医疗资源有限的情况下，延迟的干预可能会加剧疫情的扩散。因此，有必要探索一种更全面的控制策略，该策略不仅依赖于某一特定群体的人口密度，还考虑其变化率，从而实现更精确和动态的防控。

本研究提出了一种基于非光滑Filippov系统的阈值控制策略，该策略通过易感人群的数量及其变化率的加权和来决定是否实施疫苗接种和隔离措施。这种策略的优势在于，它能够更灵活地应对不同阶段的疫情发展，特别是在疫情初期，当感染人数尚未达到传统阈值时，模型可以根据易感人群的变化趋势提前采取干预措施。此外，这种策略还能够有效反映医疗资源的有限性，通过引入非线性饱和治疗和恢复函数，模拟在医疗资源紧张时，治疗能力无法随感染人数增加而线性提升的现象。

在模型构建方面，我们首先考虑了易感人群、感染人群和康复人群的动态变化，并引入了非线性治疗和恢复函数，以更真实地模拟现实中的医疗资源限制。接着，我们通过设定一个基于易感人群数量及其变化率的加权和作为切换边界，构建了一个非光滑的Filippov系统。这一系统能够在不同子系统之间切换，从而更准确地描述防控措施的实施过程。在模型分析中，我们重点研究了滑动模式的存在性、滑动区域的性质以及伪平衡点的特征，这些分析有助于理解模型在不同参数条件下的动态行为。

为了进一步揭示模型的复杂性，我们还对系统的分岔现象进行了深入研究。特别是，我们关注了系统在参数变化过程中可能出现的Codimension-1边界平衡点（BE）分岔，包括边界节点分岔、边界稳定/不稳定焦点分岔以及边界不稳定-稳定焦点分岔。这些分岔现象表明，当系统参数发生变化时，其动态行为可能会发生显著变化，如平衡点的稳定性发生变化、新的极限环出现等。这些结果对于理解传染病在不同防控策略下的传播机制具有重要意义。

在进一步的分析中，我们还探讨了系统的Codimension-2分岔现象，这包括与极限环相关的同宿边界焦点分岔和边界Hopf分岔。这些分岔现象通常发生在系统的参数处于临界状态时，此时系统可能会表现出复杂的动态行为，如极限环的形成、消失或变形。通过数值模拟，我们验证了这些分岔现象的存在，并展示了它们在不同参数条件下的表现。这些结果不仅加深了我们对模型动态行为的理解，也为实际防控策略的制定提供了理论依据。

本研究的成果表明，基于非光滑Filippov系统的阈值控制策略能够有效控制传染病的传播。特别是在易感人群数量及其变化率的加权和达到特定阈值时，系统能够自动触发疫苗接种和隔离措施，从而在疾病传播初期实现有效的干预。然而，我们也发现，感染人群是否能够保持在较低水平，不仅取决于控制策略的有效性，还与系统的初始状态密切相关。这意味着，在制定防控策略时，必须充分考虑不同群体的初始条件，以确保策略的全面性和针对性。

此外，研究还揭示了模型在不同参数条件下可能表现出的复杂动态行为。例如，当系统参数变化时，可能会出现新的极限环，或者现有的极限环可能发生变形、消失等现象。这些结果表明，即使在实施了控制措施的情况下，传染病的传播仍然可能表现出高度的非线性和不确定性。因此，防控策略的设计必须具有一定的灵活性，能够根据疫情的发展动态调整，以应对可能出现的各种复杂情况。

在实际应用中，这种基于非光滑Filippov系统的阈值控制策略可以为公共卫生部门提供有力的工具。通过合理设定阈值，可以实现对疫情的早期预警和及时干预，从而有效减少感染人数和传播范围。同时，这种策略还能够帮助优化医疗资源的分配，避免在疫情高峰期出现医疗资源短缺的情况。此外，模型分析结果还可以为政策制定者提供科学依据，帮助他们制定更加精准和有效的防控措施。

值得注意的是，本研究的模型虽然在理论上具有一定的复杂性，但在实际应用中仍然需要考虑多种现实因素。例如，不同地区的人口结构、医疗资源水平以及社会文化背景可能会影响控制策略的效果。因此，在推广和应用这一模型时，必须结合具体地区的实际情况，进行适当的调整和优化。此外，模型的参数设定也需要基于可靠的数据支持，以确保其预测的准确性和实用性。

综上所述，本研究提出了一种基于非光滑Filippov系统的阈值控制策略，该策略通过考虑易感人群的数量及其变化率，实现了对传染病传播的更精确控制。通过分析模型的动态行为和分岔现象，我们发现该策略在不同参数条件下能够表现出复杂的动态特征，包括极限环的形成、消失以及伪平衡点的出现。这些结果表明，阈值控制策略不仅能够有效减少传染病的传播，还能够为公共卫生部门提供科学依据，帮助他们制定更加全面和针对性的防控措施。然而，实际应用中仍需结合具体地区的实际情况，进行适当的调整和优化，以确保策略的有效性和可行性。