时变磁场中带电粒子轨迹的动力学建模与电磁势场假设研究

本文推荐一篇聚焦时变磁场（Time-Varying Magnetic Field）中带电粒子运动轨迹的理论研究，通过经典电动力学方程构建模型，解析矢量势（Vector Potential）与感应电场（Induced Electric Field）的数学关系，并探讨标量势（Scalar Potential）的两种假设（零势与谐波势）对粒子运动的影响，为等离子体约束（Plasma Confinement）和核聚变装置（如Tokamak）提供理论参考。

　　

章节精选 (Highlights)

问题的提出 (Present the problem)

在伽利略坐标系与圆柱坐标系（O; e_r; e_θ; e_z）中，施加沿e_z方向的时变磁场B(t)，粒子运动被限制于平面内。根据法拉第定律（Faraday's Law），时变磁场会诱发电场，其关系式为?×E = ?dB/dt。带电粒子在此电磁场中的运动需同时考虑洛伦兹力与感应电场的作用。

运动定律 (Law of motion)

在圆柱坐标系中，速度与加速度表达式为：

V = ?e_r + rθ?e_θ

a = (r? ? rθ?2)e_r + (rθ? + 2?θ?)e_θ

通过动力学方程推导得出径向与角向分量方程：

m(r? ? rθ?2) = qB(t)rθ? + F_Er

m(rθ? + 2?θ?) = ?qB(t)? + F_Eθ

通过数学变换与积分，进一步得到角动量相关守恒关系：

r2(mθ? + qB(t)/2) = ∫[r2q?(t)/2 + rF_Eθ] dt

时变磁场中的矢量势 (Time varying magnetic field: vector potential)

结合麦克斯韦方程组与坐标系旋转特性（de_θ/dt = ?θ?e_r, de_r/dt = θ?e_θ），推导矢量势A的表达式。由?×A = B(t) 且?A_r/?θ = 0，可得：

A_θ = B(t)r/2 = ?(m/q)rθ?

电场分量可写为：

E_r = ??_r + θ?A_θ ? ?φ/?r

E_θ = ??_θ ? θ?A_r

代入A_θ后进一步简化为：

E_r = ??_r ? rqB2(t)/(4m) ? ?φ/?r

E_θ = ?(?B(t) + ?(t)r)/2 + (qB/(2m))A_r

模型假设：标量势φ=0 (Model : Assumption φ=0)

在此假设下，感应电场的径向分量为零。运动方程简化为：

(m/q)r? = ?rqB2(t)/(4m)

若磁场为振荡形式（B = B₀ + B₁e^jωt），当B₁=0时，粒子运动为经典圆轨迹：

r(t) = C₁sin(?(qB/m)t) + C₂cos(?(qB/m)t)

第二模型：标量势非零 (Second model : potential isn’t null)

本研究重点关注谐波势形式：φ = ?kr2。为保证在恒定磁场下诱导电场为零（即?φ/?r=0），标量势仅在磁场随时间变化时被激活。该假设显著简化运动方程，并导出更丰富的轨迹类型，例如持续圆形轨迹或平滑过渡行为。

线性时变磁场的讨论 (Magnetic fields varying linearly with time)

选择线性时变磁场进行模型比较的原因有二：

其一，该情形近期已被研究[20]，且具有实际应用价值，例如回旋加速器（Cyclotron）中为抵消相对论效应需逐步增强磁场，亦适用于质谱分析（Mass Spectrometry）与等离子体约束（Plasma Confinement）。

其二，线性变化是检验标量势假设合理性的理想场景，可对比本研究与其他理论的预测结果。