柔性Lomax-G分布族：在水文学与生物医学中的估计方法与应用创新研究

本研究针对传统Lomax分布在复杂数据建模中的局限性，提出新型柔性Lomax-G（NLx-G）分布族，通过引入T-X生成器构建包含双参数的全新概率模型。研究系统推导了该分布族的量化函数、混合表示与矩特性，并通过最大似然估计等六种方法验证参数估计有效性。模拟分析与三组真实数据（洪水水位、豚鼠生存期、失业保险记录）的应用表明，其子模型NLx-指数分布（NLxEx）在拟合优度检验中显著优于现有指数型分布，为水文学、生物医学及保险领域的复杂数据建模提供强鲁棒性工具。

　　

在统计学与数据建模领域，传统概率分布常难以适应复杂现实数据的多样形态，尤其是水文学中的极端洪水事件、生物医学中的生存时间数据以及保险领域的风险记录，往往呈现右偏、双峰或多模态特性。帕累托II型分布（即Lomax分布）虽在经济学、精算学及可靠性工程中广泛应用，但其形态单一性限制了在复杂场景下的拟合能力。尽管已有加权Lomax、 transmuted Lomax、指数化Lomax等多种改进版本，仍缺乏一个兼具数学简洁性与形态泛化能力的统一框架。

为此，来自巴基斯坦政府Makhdoom shames-u-deen Gillani联合学院、沙特努拉公主大学、沙特国王 Abdulaziz大学、埃及Benha大学等多机构的研究团队，在《Scientific Reports》上发表了题为“The flexible Lomax-G family with estimation methods and applications in hydrology and biomedicine”的研究论文，提出了全新Lomax-G分布族（NLx-G），通过T-X家族生成器与函数H(Π;y,?)=G(x;ψ)(2?G(x;ψ))/Gˉ(x;ψ)的融合，构建了包含两个额外形状参数（α, β）的泛化概率结构。该分布族不仅具备闭合形式的概率密度函数（PDF）与累积分布函数（CDF），还能生成右偏、左偏、对称、双峰、J形、反J形等多样密度形态，以及递增、递减、浴盆、修正浴盆等多种风险率（hazard rate）模式，显著提升了其对复杂数据的适应性。

研究采用的最大似然估计（ML）、最小二乘（LS）、Cramér-von Mises（CVM）、加权最小二乘（WLS）、Anderson-Darling（AD）与右尾Anderson-Darling（RTAD）六种参数估计方法，在大量模拟分析中验证了估计量的一致性与有效性。其中最大似然估计在均方误差（MSE）准则下表现最优，而RTAD方法在小样本场景下展现较强鲁棒性。

关键方法上，作者通过系列展开与代数重构，将NLx-G的CDF与PDF转化为指数化基线分布（exp-G）的线性组合，进而推导出矩生成函数（MGF）、残差寿命矩、反向残差寿命矩等核心性质。三组真实数据（33例洪水水位记录、72例豚鼠结核菌感染生存时间、58例美国马里兰州失业保险月度记录）被用于验证NLx-指数分布（NLxEx）的实践性能，并通过负对数似然（-?）、AIC（Akaike信息准则）、BIC（贝叶斯信息准则）、KS检验（Kolmogorov-Smirnov检验）等指标，与Lomax指数（LEx）、指数化 transmuted 指数（ETLEx）、指数化Gumbel指数（EGEx）、Burr XII指数（BXIIEx）、transmuted广义指数（TGEx）、Topp-Leone奇对数逻辑指数（TLOLLEx）等六种现有模型进行对比。

研究结果部分通过以下结构呈现：

线性表示：

通过二项展开与指数化基线分布重构，NLx-G的CDF可表示为F(x)=∑i,k∞ai,kG(x)i+k，PDF为f(x)=∑i,k∞di,khi+k?1(x)，其中hi+k?1(x)为幂参数i+k?1的exp-G密度函数。该表示为矩与生成函数的推导奠定基础。

矩与生成函数：

第r阶原点矩μr′=∑i,k∞di,kE(Yi+k?1r)，其中Yi+k?1为exp-G随机变量。通过该式计算出NLxEx分布的前四阶矩、方差、偏度（Ω₁）、峰度（Ω₂）与变异系数（C_V），数值模拟表明参数变化可灵活调节分布形态。矩生成函数（MGF）亦有两种表达：一为基于exp-G的MGF组合，二为通过量化函数Q_G(u)的积分形式。

不完全矩与曲线应用：

第s阶不完全矩I_s(t)=∑i,k∞di,k∫0txsh_i+k?1(x)dx，用于计算平均偏差δ₁与δ₂、Bonferroni曲线与Lorenz曲线，在经济与保险风险分析中具有实用价值。

残差寿命与反向残差寿命矩：

定义残差寿命矩a_n(t)=E[(X?t)n∣X>t]与反向残差寿命矩A_n(t)=E[(t?X)n∣X≤t]，分别用于可靠性工程与生存分析中的风险时序评估。

估计方法性能：

模拟研究涵盖15组参数组合与5种样本量（n=50,100,200,500,750），重复1000次。结果表明所有估计方法均具有一致性（MSE随样本量增加而降低），但最大似然估计在绝大多数场景下均方误差最小，RTAD方法在小样本时表现稳定。收敛性分析指出LS、WLS、CVM与AD方法在偏态或厚尾数据中可能出现有限样本波动。

实际数据拟合：

在洪水数据中，NLxEx的AIC（155.2）、BIC（159.8）、KS统计量（0.099）均优于对比模型；豚鼠生存数据中，其W（0.042）与A（0.287）均为最低；保险数据中，NLxEx的CAIC（423.1）与HQIC（418.6）表明其参数效率最高。拟合曲线与分位数-分位数（QQ）图一致显示NLxEx对经验分布的良好捕捉能力。

研究结论强调，NLx-G分布族通过数学扩展与参数化灵活性，突破了传统Lomax分布的应用边界。其子模型NLxEx在多种现实场景中均展现最优拟合性能，且最大似然估计为其参数推断提供了可靠工具。该框架为水文学、生物医学、保险数学等领域的复杂数据建模提供了统一且强大的解决方案，未来可进一步扩展至贝叶斯推断、回归结构及多变量建模中。