基于泰勒小波求解分数阶延迟微分方程的数值方法

本文提出一种基于泰勒小波(TWs)的数值方法，用于求解分数阶延迟微分方程(FDDEs)。研究人员通过构造TWs基函数和分数阶积分算子，将FDDEs转化为代数方程组求解。该方法在多个数值算例中表现出高精度和快速收敛性，最大绝对误差可达10-13量级，为复杂分数阶系统的数值模拟提供了有效工具。

　　

分数阶延迟微分方程(Fractional Delay Differential Equations, FDDEs)作为描述具有记忆效应和时滞特性的复杂系统的重要数学工具，在物理、工程和生物等领域具有广泛应用。然而，这类方程往往难以获得解析解，数值求解成为主要研究手段。传统的数值方法在处理高精度需求时面临挑战，特别是在分数阶导数和延迟项的共同作用下，数值稳定性和计算效率问题尤为突出。

为了有效解决FDDEs的数值求解问题，研究人员在《Franklin Open》上发表了一项创新研究，提出基于泰勒小波(Taylor Wavelets, TWs)的数值方法。该方法通过构造TWs基函数和分数阶积分算子，将复杂的FDDEs转化为线性代数方程组，利用配置点法进行求解。

研究采用的关键技术方法包括：泰勒小波基函数的构建、Caputo分数阶导数的定义、分数阶积分算子的应用、配置点法的实施，以及误差和收敛性分析。研究人员通过多个数值算例验证方法的有效性，包括不同分数阶阶数和延迟参数的测试案例。

函数逼近 via TWs

研究首先介绍了TWs基函数的数学定义和性质。TWs由两个参数定义：分辨率级数k和多项式次数m。通过二项式展开和分数阶积分运算，推导出TWs的分数阶积分表达式，为后续的数值逼近奠定基础。

FDDEs的方法论

针对一般的FDDEs形式，研究团队将未知函数及其分数阶导数用TWs基展开，通过分数阶积分运算将原方程转化为代数方程组。特别地，延迟项的处理通过变量替换和泰勒展开相结合的方式实现，最终在配置点上建立离散化系统。

误差和收敛性分析

通过严格的数学推导，研究人员证明了该方法的最佳逼近性质和误差界。理论分析表明，近似误差随着TWs基维数的增加而指数衰减，收敛速度达到O(1/Γ(M+1)4^M2^Mk-M-1)，体现了该方法的高精度特性。

数值算例验证

研究通过多个典型算例验证方法的有效性。在例1中，对于γ=2的情况，当采用9个TWs基时，最大绝对误差达到10^-13量级，显著优于文献中报告的10^-9量级的误差水平。不同分数阶γ下的残差误差分析表明，该方法在各种参数条件下都能保持稳定的数值性能。

研究结论表明，基于TWs的数值方法为FDDEs提供了一种高效、高精度的求解方案。该方法不仅具有理论上的收敛性保证，在实际计算中也表现出优异的数值性能。其重要意义在于为处理具有记忆效应和时滞特性的复杂系统提供了可靠的数值工具，在科学计算和工程应用中具有广阔的应用前景。特别是该方法能够有效处理分数阶导数和延迟项的耦合效应，为解决实际工程中的复杂动力学问题提供了新的技术途径。