基于谱系数算子网络（SCLON）的偏微分方程反问题求解：一种无监督-监督混合训练策略

《Engineering Applications of Artificial Intelligence》：Spectral coefficient learning via operator networks for inverse problems of parametric partial differential equations

本文提出了一种改进的谱系数学习框架（SCLON），用于解决参数化偏微分方程（PDEs）的反问题。该框架通过谱表示自动满足边界条件，无需额外惩罚项，显著提升了训练稳定性和计算效率。实验表明，该方法在无标签数据或少量监督样本下均表现出高精度和强鲁棒性，为复杂系统参数反演提供了高效且可靠的解决方案。

　　

方法

本节介绍了一种基于SCLON框架解决参数化偏微分方程反问题的扩展方法。首先回顾了原始SCLON方法在正问题中的应用，然后将其调整用于反问题场景，其目标是从解u的部分观测值推断出强迫项f。尽管为了说明方便，本文使用以下一维椭圆方程进行说明：

数值结果

本节测试了改进的SCLON方法在各种参数化偏微分方程反问题中的应用。所有实验均使用包含1,000个样本的无监督训练数据集（即M=1000）和位于Legendre-Galerkin配置节点上的L个传感器点。然后，使用L-2个基函数，这反映了其在原始SCLON框架中成功应用于正问题的经验。对于优化过程，使用了有限内存...

结论

本文介绍了一种针对参数化偏微分方程反问题量身定制的改进谱系数学习框架。该方法基于最初为正问题设计的SCLON方法，主要通过利用底层偏微分方程约束，从有限的传感器数据中推断未知的强迫项。至关重要的是，它采用了一种谱表示，该表示固有地满足边界条件，从而消除了对额外惩罚损失项的需求，并因此增强了...