广义Burgers型非线性Sobolev方程的半隐式有限差分法研究：一种避免迭代计算的高效数值策略

《Mathematics and Computers in Simulation》：A novel semi-implicit finite difference approach for the Sobolev equation with generalized Burgers-type nonlinear term

本文推荐一种针对含广义Burgers型非线性项的Sobolev方程的新型半隐式有限差分（FD）方法。该方法采用后向欧拉（BE）格式，通过线性化处理非线性对流项upux，在保证计算精度的同时避免了隐式格式的迭代求解，显著降低了计算成本。作者基于能量方法严格证明了数值解的存在性、唯一性、有界性及格式的收敛性和扰动稳定性，并通过数值算例验证了该算法具有时间一阶、空间二阶的收敛精度。

　　

理论分析

本节对提出的有限差分格式（19）-（21）进行数值分析，包括存在性、唯一性、有界性、稳定性和收敛性。为便于推导主要结果，我们首先介绍几个支撑后续分析的重要引理。

引理2 [36], [37]

对于任意u,v∈Υ_h，有〈δ_x²u,v〉= ?〈δ_xu,δ_xv〉。

引理3 [30], [38]，离散Sobolev不等式

对于所有网格函数u∈Υ_h，存在常数c₂和c₃使得‖u‖_∞≤ c₂‖u‖ + c₃‖δ_xu‖。

引理4 [39]，离散Gronwall不等式

假设非负实数序列{Φⁿ}_n=0^N满足Φⁿ≤ a_n+ ∑_s=0^n-1b_sΦ^s, n ≥ 1。

数值结果与讨论

本节通过两个测试算例验证前述对BE半隐式有限差分格式（19）-（21）的理论论述，并展示其精度和效率。为增强数值实验的说服力，第一个例子设有已知解析解，第二个例子则考虑无已知精确解的情况。

算例1 非齐次情形

令L=T=λ=1。考虑方程u_t(x,t) ? u_txx(x,t) + u^pu_x(x,t) ? μu_xx(x,t) = f(x,t), 0<x<1, 0<t≤1，初始条件为u⁰(x)=sin(πx)。

结论

本文研究了一种新的半隐式有限差分（FD）方法来模拟包含广义Burgers型非线性项的Sobolev方程（SE）。通过运用Leray-Schauder定理和离散Sobolev不等式，分析了近似解的存在性、唯一性和有界性。在此基础上，利用能量方法为所提方法的稳定性和收敛性提供了清晰而严格的证明。最终，数值模拟验证了BE半隐式...