移动边界泊松-能斯特-普朗克问题的任意拉格朗日-欧拉有限元法能量范数最优收敛性分析

《Mathematics and Computers in Simulation》：Optimal convergence analysis of arbitrary Lagrangian-Eulerian finite element methods in energy norm for Poisson-Nernst–Planck moving boundary problems

本文针对移动边界泊松-能斯特-普朗克（PNP）问题，首次开发并分析了基于任意拉格朗日-欧拉（ALE）框架的有限元方法，通过引入新型H1-投影技术，在能量范数下获得最优收敛率，在L2范数下获得次优收敛率，为离子通道等生物物理系统的数值模拟奠定了理论基础。

　　

Section snippets

The ALE mapping

首先，我们引入一组双射映射X_t∈ H¹(0,T; (W^2,∞(Ω₀))^d)，它将初始（拉格朗日）域Ω₀映射到当前（欧拉）域Ω_t：

X_t: Ω₀→ Ω_t

x? → X_t(x?,t) = x, ?t ∈ (0,T]

其中x? ∈ Ω₀是参考坐标变量。另一方面，X_t也可逆且X_t^-1∈ (W^1,∞(Ω_t))^d。因此，域速度可定义为：

ω: Ω_t× (0,T] → R^d, ω(x,t) = ω?(x?,t) ° X_t^-1= ?X_t(x?,t)/?t ° X_t^-1

进一步，标量v ∈ H¹(0,T; H¹(Ω_t))的ALE物质导数定义为：

?v/?t

The discrete ALE mapping

取h (0<h<1)为网格尺寸，令T_h⁰为t=0时Ω₀的拟一致网格。则对任意t ∈ (0,T]，我们在有限元空间S_h中定义离散ALE映射X_h,t：

X_h,t: Ω₀→ Ω_t

x? → X_h,t(x?,t) = x

其中P^r(r≥1)是r次分段多项式集合，X_h,t同样可逆。令T_h^t为T_h⁰在离散ALE映射X_h,t下的像。类似地，离散ALE域（即ALE网格）速度和离散ALE物质导数也可相应定义。

A specific H¹-projection over moving domains

为分析开发的ALE-FEM在H¹或L²范数下的最优收敛率，我们首先引入以下特定的H¹-投影技术，该技术与移动域上电势和离子浓度在稳态时的耦合相关，其中域速度指定为ALE网格速度ω_h。令R_h: H¹(Ω_t) → V_h^t为H¹-投影算子，并定义R_hC_i∈ V_h,i^t(i=1,2), R_hΦ ∈ V_h,3^t以满足特定条件。

Numerical experiments

令以下光滑函数为二维情况下(1.1)–(1.4)的精确解，通过适当选择右侧函数f_i、边界值函数g_i和初始函数C₁⁰, C₂⁰(i=1,2,3)：

C₁= sin(2πx)sin(2πy)sin(t)

C₂= sin(3πx)sin(3πy)sin(2t)

Φ = sin(πx)sin(πy)(1?e^?t)

初始域定义为Ω₀= {(x?,?) | x?2 + ?2 ≤ 0.0625}且t ∈ [0,1]。本例中，我们考虑移动域由以下位置函数驱动：x_Γ(x?,t) = (1+0.2sin(2πt))x?。通过数值实验验证了理论结果，显示所有变量在H¹和L²范数下均达到最优收敛率。

Conclusion and future work

本文针对一类移动边界泊松-能斯特-普朗克（PNP）问题，开发了全离散线性化任意拉格朗日-欧拉有限元法（ALE-FEM），并证明了所有变量在H¹（能量）范数下的最优误差估计，而L²范数下仅验证了次优收敛率。尽管数值实验表明所有主要变量在H¹和L²范数下的数值收敛率均为最优。作为起点，所开发的ALE有限元格式及其分析技术可扩展到PNP系统的移动界面问题及更广泛的PNP-纳维-斯托克斯（Navier-Stokes）耦合系统，这将在我们未来的工作中研究。