3-PRRS型并联机器人机构运动学分析与工作空间研究

《Robotics》：Selected Papers from MEDER 2024: Advances in Mechanism Design for Robotics

本文针对新型3-PRRS型并联机构(PM)开展系统研究，该机构采用三个主动旋转关节和三个被动棱柱关节的独特构型。研究通过闭环矢量方程和齐次变换矩阵建立了运动学模型，推导出正向运动学的16次多项式解析解，并确定了机构可达工作空间。特别分析了两种类型奇异构型的数学条件，发现被动棱柱关节可有效扩大无奇异位形的工作空间。研究为高精度定位设备（如手术机器人）的优化设计提供了理论依据。

　　

1. 引言

3-PRRS型并联机构(PM)是一种具有三个自由度的新型机器人机构，其独特之处在于采用了三个主动旋转关节和三个被动棱柱关节的混合驱动方式。该机构由一个固定平台、一个动平台以及连接二者的三条相同支链组成，每条支链包含P(棱柱关节)-R(旋转关节)-R(旋转关节)-S(球铰关节)的运动副序列。这种构型使得机构在保持结构刚度的同时，能够实现动平台的复杂三维运动。

2. 机构描述与坐标系建立

机构模型建立在绝对坐标系O₀U₀V₀W₀中，其中固定平台上的三个线性驱动器(被动P关节)沿特定方向布置，相邻驱动器轴线间的夹角为120°。动平台为等边三角形，通过三条支链与固定平台连接。每条支链中的第一个旋转关节(R)为主动驱动关节，第二个旋转关节(R)和球铰关节(S)为被动关节。

为了准确描述机构运动，为每个支链建立了局部坐标系系统。通过齐次变换矩阵表示各连杆间的相对位置和姿态关系，这些矩阵包含了机构的关键几何参数，如连杆长度a_i、b_i、c_i、f_i、g_i等，以及关节变量s_i(棱柱关节位移)和θ_2,i(主动旋转关节角度)。

3. 逆向运动学分析

逆向运动学问题是已知动平台位姿(位置和姿态)，求解各驱动关节的位移量。对于3-PRRS型并联机构，动平台的位姿可由其中心点P的坐标(X_P, Y_P, Z_P)和欧拉角(ψ, θ, φ)描述。

通过建立闭环矢量方程，可以推导出各支链中关节变量与动平台位姿间的数学关系。具体而言，球铰中心O_4,i的坐标可以通过两条路径表示：一是从固定平台经支链各连杆到达球铰中心，二是从动平台中心P经动平台上的固定向量到达球铰中心。令这两条路径等价，可建立包含未知关节变量的方程组。

求解该方程组可得各支链的关节变量，包括主动旋转关节角θ_2,i和中间连杆角θ_3,i。分析表明，对于给定的动平台位姿，每个支链存在两种可能的装配构型，对应不同的θ_3,i值。

4. 正向运动学分析

正向运动学问题是已知各驱动关节的位移量(s_i和θ_2,i)，求解动平台的位姿。这是一个更为复杂的问题，因为需要从关节空间向操作空间映射。

通过建立三个球铰中心之间的距离约束方程，并利用三角代换和Sylvester结式法，可将问题转化为一个关于中间变量t_3,1的16次多项式方程。该多项式的实根数量取决于机构的装配构型，通常为4-16个不等，每个实根对应机构的一个可能位形。

数值算例表明，在对称构型下(s₁=s₂=s₃=60, θ_2,1=θ_2,2=θ_2,3=-45°)，机构存在四种不同的工作模式，这些模式之间由串联奇异构型分隔。

5. 工作空间分析

工作空间是指动平台中心点P能够到达的所有位置点的集合。对于3-PRRS型并联机构，工作空间的边界由机构的几何约束和关节运动范围决定。

通过逆向运动学分析，可以确定机构的工作空间。具体方法是，在关节变量的允许范围内系统变化驱动关节的位移，计算对应的动平台位姿，所有有效位姿的集合即为工作空间。

分析表明，线性驱动器的行程对工作空间在垂直方向上的扩展有显著影响。当行程减小时，工作空间在机构上部的区域增大；当行程增加时，工作空间在机构下部的区域扩展。数值仿真结果直观展示了工作空间的形状和范围，为机构优化设计提供了重要依据。

6. 奇异构型分析

奇异构型是机构性能分析中的关键问题，它直接影响机构的控制性能和承载能力。3-PRRS型并联机构的奇异构型可分为两种类型：

第一类奇异(序列奇异)发生在雅可比矩阵J_q秩亏时，此时机构失去一个或多个自由度。数学上，这类奇异当向量g_i垂直于主动旋转关节轴e_1,i时发生，即θ_23,i=θ_2,i+θ_3,i=0或2π的情况。这种情况下，机构支链处于完全伸直或完全折叠的状态。

第二类奇异(并行奇异)发生在雅可比矩阵J_x秩亏时，此时机构获得一个或多个额外自由度。这类奇异与机构的具体构型相关，当某些向量满足特定平行条件时发生。分析表明，通过合理设计被动棱柱关节的参数，可以避免或减少第二类奇异构型的出现，从而扩大机构的可用工作空间。

7. 速度分析

速度分析研究机构操作空间速度与关节空间速度之间的映射关系，由雅可比矩阵描述。对于3-PRRS型并联机构，速度分析需要考虑机构的约束条件。

通过微分运动学方程，可以建立包含机构完整运动信息的扩展雅可比矩阵。正向速度分析是已知关节速度求动平台速度，而逆向速度分析则是已知动平台速度求各驱动关节所需的速度。

数值算例验证了速度分析模型的正确性。在非奇异构型下，正向和逆向速度分析结果的一致性误差不超过5%，表明所建立的数学模型是准确可靠的。

8. 结论

本文系统研究了3-PRRS型并联机构的运动学特性。通过建立完整的运动学模型，解决了机构的正向和逆向运动学问题，确定了工作空间范围，并分析了奇异构型条件。研究发现，该机构具有最多16种正向运动学解，对应不同的装配模式。特别值得注意的是，被动棱柱关节的引入有效扩大了机构的无奇异工作空间。这些研究成果为该类机构在精密定位、手术机器人等领域的应用提供了理论基础。