《Water》：Leakage Modelling in Water Distribution Networks: A Novel Framework for Embedding FAVAD Formulation into EPANET 2.2
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本文提出了一种创新框架，成功将固定与可变面积泄放（FAVAD）方程嵌入EPANET 2.2软件，用于模拟给水管网（WDNs）泄漏。该框架通过Matlab?环境迭代调整节点发射器系数，在不修改EPANET源代码的前提下，实现了泄漏面积随服务压力变化的真实模拟，有效防止了负压条件下的泄漏回流问题，为管网泄漏精准管控提供了重要工具。
引言：给水管网面临的挑战与泄漏建模的重要性
由于管道老化和城市人口增长带来的用水需求不断增加，给水管网（WDNs）日益容易出现故障。在发生完全故障前，有裂缝的管道通常会出现漏水问题，根据“漏前爆裂”（LBB）概念，这些问题可能会随着时间的推移而加剧。泄漏被认为是给水管网中水损失的主要原因。例如，在美国，估计每年约有17%的供水因泄漏而损失。泄漏的存在会带来一系列不良影响，包括：增加从水源取水的水量、增加水处理成本、增加能源消耗（如果管网由水泵供水）、增加管网管道中的水头损失，可能导致服务压力降低和用户需求无法满足。
为了避免或减少泄漏的不良影响，必须执行三项主要任务：检测、定位和定量，以便进行修复干预。基于物理的模型有助于水务公司工作人员和从业者进行泄漏监测。虽然泄漏检测方法涵盖了从目视检查到水量平衡等多种技术，但精确确定泄漏在管网中的位置是一项更为繁琐的任务。多年来，已经开发了各种实验和数值技术用于泄漏定位，范围从互相关函数法和阻抗法，到基于机器学习和人工智能方法的最新技术。尽管瞬态分析在定位方面具有无可争议的优势，但稳态分析已被证明可以提供足够的信息来解决此问题，通常基于最小用水时段流量分析。此外，在事先知道（或假设）泄漏位置的情况下，稳态分析还能够量化泄漏规模并评估其出流量。
在科学文献中，提出了两种主要的泄漏出流公式用于稳态建模，即幂律公式和固定与可变面积泄放（FAVAD）方程。尽管幂律公式易于在水力求解器中实现，以便快速评估泄漏出流，但其缺点在于忽略了泄漏面积随当前压力变化的影响，而这已被证明会影响泄漏出流。因此，尽管FAVAD表达式的实现更为困难，但它被发现能更真实地评估泄漏出流。虽然科学文献中已经提出了一些实现FAVAD方程用于泄漏建模的算法，但大多数免费和商业软件仍然没有考虑它，并且仍然局限于幂律方程，例如当前版本的EPANET 2.2使用发射器方法就是这种情况。因此，在EPANET中进行正确的泄漏建模仍然是科学家和从业者主要关注和争论的问题。为了弥补这一差距，本文提出了一种新颖的迭代算法，可以通过Eliades等人开发的工具包连接到EPANET 2.2。该算法通过迭代过程将FAVAD公式嵌入到EPANET 2.2的发射器功能中。
方法论：从基础公式到算法实现
该方法首先介绍了描述幂律和FAVAD公式的基本数学方程。随后，开发了将FAVAD表达式写成幂律形式的过程。最后，详细说明了通过迭代过程将FAVAD表达式纳入EPANET 2.2的算法步骤。
基本公式：泄漏特性，即泄漏流量与压力水头之间的关系，对于给水管网中的压力管理和泄漏控制至关重要。通常，通过管道裂缝的泄漏可以看作是通过孔口的流动，因此可以用托里拆利方程来描述。在更一般的术语中，该方程可以重写为幂律形式。EPANET 2.2允许在发射器设置下使用这种公式进行泄漏表征，指数默认值设置为0.5，指的是孔口方程。为了使用发射器公式进行泄漏建模，并且由于泄漏面积容易随着压力增加而扩大，泄漏指数通常被设置为高于默认值0.5的值。虽然这可以近似模拟泄漏面积局部膨胀导致的泄漏出流变化 around 某个服务压力，但当服务压力变化显著时，它无法准确执行。
假设管道材料为线弹性行为，Cassa和Van Zyl发现泄漏面积A随压力水头h线性扩展，从初始泄漏面积A0开始。因此，A由固定面积和可变面积（通过系数m（m2/m）作为压力的函数）组成。为了更严格地定义泄漏出流，考虑了面积-压力关系，并将方程（3）纳入方程（1）得到了泄漏流量的FAVAD公式。该方程可以重写，其中NL= mh/A0被定义为泄漏数，代表泄漏面积可变部分与恒定部分的比率。参考相关文献，发现了N1和NL之间的直接关系。从该关系可以得出两个主要结论：当泄漏数趋于0时，泄漏指数趋于0.5；随着NL的增加（即泄漏面积的可变部分增加），泄漏指数也随之增加，达到最大值1.5。
斜率m被发现是管道材料和尺寸（杨氏模量、直径和壁厚）、泄漏裂缝长度以及流动特性的函数。Cassa和van Zyl进行了一系列密集的数值测试，为参数m建立了经验公式，具体取决于泄漏形状（纵向、螺旋和周向裂缝）。其中，σl（Pa）表示由内压p（Pa）引起的纵向应力。
将FAVAD表述为幂律形式：在本小节中，提出了将FAVAD公式（方程（4））写成幂律形式（方程（2））所需的泄漏指数和泄漏系数的表达式。尽管泄漏指数和泄漏系数都应依赖于压力以及泄漏参数（初始面积A0和斜率m），但EPANET 2.2并未考虑这种依赖性。实际上，发射器系数是节点敏感的，而指数可以设置为适用于所有管网节点的单一值。
因此，为了将FAVAD表达式纳入EPANET 2.2，采用了一种设置泄漏参数的替代方法：将面积变化的影响完全嵌入到泄漏系数C中，而不改变指数N1的表达式（保持默认值0.5）。值得注意的是，这种选择并不反映泄漏的物理参数，而是使用“人工”参数来一方面符合EPANET 2.2，另一方面又能正确评估泄漏出流。将FAVAD表述为幂律形式来自于重新排列方程（4）成方程（2）的形式。这是经典的幂律公式，服从具有可变面积的孔口的水力学特性，并具有恒等于0.5的指数。一方面，在这种新公式中，发射器系数是压力的函数（线性函数），因此，裂缝行为的所有可变性都由一个单一参数表示，该参数可以在EPANET 2.2环境中轻松针对每个节点进行定制和调整。另一方面，发射器指数设置为恒定且等于0.5 for all nodes，这与EPANET 2.2当前的设置选项一致。
在EPANET 2.2下实现FAVAD公式的算法：在构建用于实现以幂律形式格式化的FAVAD方法的主要Matlab脚本之前，基于方程（7）编写了一个单独的Matlab函数，用于评估三种考虑的裂缝形状情况下的面积-压力斜率m。该函数接收压力、内径、壁厚、杨氏模量和裂缝长度作为输入，返回分别对应于纵向、螺旋和周向裂缝形状的三个m值。通过方程（7）可以观察到，对于纵向裂缝形状，m独立于纵向应力，即独立于内压。
为了正确执行算法以获得真实的结果，应定义管网所有管道的壁厚。通常，标准的EPANET输入文件定义管道长度和直径，但不包括壁厚；因此，壁厚应作为输入参数在Matlab脚本中设置。所提出程序的主要算法步骤如下：上载网络输入文件并定义所需参数；定义一组泄漏管道；在固定泄漏面积假设下分析网络：k = 1，执行一次EPANET运行；开始第一个循环，遍历所有泄漏管道：在每个泄漏管道i的末端节点中：考虑在该节点获得的压力以及与连接到该节点的泄漏管道（在迭代i处处理的管道）的特性，评估参数m（面积相对于压力曲线的斜率）；根据节点中的压力和评估的m值评估发射器系数C；将获得的两个C值（每个末端节点一个）设置为这些节点的发射器系数。在为所有泄漏管道的末端节点设置新的发射器系数后，分析网络：k = k + 1，执行另一次EPANET运行。对于网络中的所有节点，检查迭代k和k-1之间的压力差，并设置一个条件（算法的停止准则）。只要条件不满足，重复步骤4到6，在循环遍历泄漏管道之前将发射器系数重置为零。一旦条件满足，保存所有节点的输出结果（水头、压力、发射器系数、总出流量、泄漏出流量等）。对于管道，考虑其末端节点的泄漏流量及其与其他管道的连接，评估每个管道的泄漏，并保存网络中所有管道的结果（流速、流量、泄漏）。
对于所提出的算法，值得注意的是：尽管在节点处评估，但泄漏是与管道关联的，这更基于物理原理；为了计算发射器系数，评估了压力和斜率m。实际上，m并非所有管道的恒定参数，因为它取决于管道特性。此外，如果考虑螺旋或周向裂缝形状，参数m也变得与压力相关。因此，所提出算法的优点之一是，在处理螺旋或周向裂缝时，不需要将水头-面积图线性化为m的恒定值。实际上，m会根据每次迭代中评估的节点压力进行更新。对于算法的收敛性，迭代过程设置为一旦两次连续迭代的节点压力值几乎相等就结束，即获得了所寻找的发射器系数值（因为它们是压力相关的）。因此，步骤6中定义的停止准则假设，一旦最后两次迭代（“k”和“k-1”）的节点压力差平均值不超过预定义的容差ε，即达到收敛。例如，对于本工作中进行的数值测试，ε设置为等于1 × 10?3m（1毫米压力水头）。对于与管道相关的输出，该算法允许分别评估每个管道的泄漏，包括节点由多个泄漏管道共享的情况。此外，该算法考虑了泄漏管网中可能发生的特定配置。
案例研究：验证框架可靠性的测试
为了证明所提出框架的可靠性，进行了三组主要测试。第一组测试旨在证明所提出算法在不同压力情景下进行泄漏评估的稳健性，并与传统的EPANET 2.2进行比较。第二组测试分别关注管道材料和裂缝几何形状，旨在确定必须考虑裂缝面积可变性以正确模拟管网泄漏的主要条件。第三项测试应用于一个更大的管网，重点关注算法的可扩展性及其在需求驱动分析（DDA）和压力驱动分析（PDA）下防止泄漏回流的实用性。为此，将两个管网作为案例研究：Fossolo和Modena网络，它们在之前的几项工作中被广泛用作测试案例。
为了使用EPANET 2.2正确分析管网中的泄漏，包括通过所提出算法使用FAVAD方法，需要定义一些附加参数。知道Fossolo管网由聚乙烯管道组成，杨氏模量和壁厚t相应设置，考虑高密度聚乙烯（HDPE）材料。厚度t假设为管道直径的1/10，与所研究管网管道直径范围内HDPE管道制造商提供的数据一致。对于Modena管网，根据所有管道给出的Hazen-Williams系数值为130，假设为铸铁材料，对应的杨氏模量约为100 GPa。管道壁的厚度是根据直径范围给出的。此外，对于两个管网，定义了每单位管道长度的裂缝长度（mm/m），并假设裂缝宽度恒定，使得裂缝尺寸与管道长度成正比（即，长管道更容易出现裂缝）。
应用与结果：算法效能与优势凸显
第一项测试：本算法与校准后的EPANET 2.2对比：首先，考虑Fossolo管网的默认设置、表2中报告的附加参数，并假设纵向裂缝形状，通过开发的算法对管网进行分析，得到了泄漏节点的结果。在这些参数下，获得了46.8%的泄漏率。之后，在EPANET 2.2中直接分析Fossolo管网，校准发射器系数以获得与开发算法相同的结果。必须注意，在EPANET 2.2中，节点处的发射器系数是考虑发射器指数N1的两种极端情况（即N1 = 0.5和N1 = 1.5）进行校准的。显然，对于N1 = 0.5，获得了与通过算法计算的相同的发射器系数。
在校准EPANET 2.2中的发射器系数 under 默认服务压力后，通过将水库水位降低30米（节点37的高程从121米降低到91米）来降低Fossolo管网中的服务压力。在这种降低的服务压力下，首先使用开发的算法对管网进行分析，该算法生成了一个新的发射器系数集。然后，使用表6中校准的发射器系数值，在EPANET 2.2中对管网进行分析。液压分析结果在压力和泄漏流量方面以图形方式绘制。注意到EPANET 2.2与开发的算法之间的液压分析结果存在差异。获得的总泄漏率值分别为：本算法28.99%，EPANET 2.2（N1=0.5校准C值）34.78%，EPANET 2.2（N1=1.5校准C值）22.94%。考虑到发射器系数是压力依赖的，开发的算法在泄漏节点中产生了一组新的发射器系数，因此，与使用先前校准的发射器系数的EPANET 2.2相比，产生了不同的压力值和泄漏流量。对于指数N1的两种情况，EPANET 2.2无法重现通过开发算法获得的结果；泄漏率要么被低估，要么被高估，具体取决于N1值。因此，在默认服务压力下执行的校准一旦服务压力发生变化就不再有效。这证明了开发算法的可靠性，其中与传统的EPANET不同，发射器系数是与流量参数一起计算的输出，赋予该框架处理各种压力设置的灵活性。实际上，对于可变泄漏面积，在EPANET 2.2中执行的校准不是唯一的，如果在特定压力设置下进行，当用于不同压力设置时会导致不准确的结果。
通过将水库水位相对于默认设置再降低50米，进一步降低了Fossolo管网中的服务压力（节点37的高程从121米降低到71米）。对于纵向裂缝形状，执行了与上一小节类似的分析，得到了由开发算法计算的发射器系数，以及图形显示的压力和泄漏流量。显示了开发算法与两种校准情况下的EPANET 2.2之间的结果差异。获得了总泄漏率值分别为：本算法9.01%，EPANET 2.2（N1=0.5校准C值）10.33%，EPANET 2.2（N1=1.5校准C值）-0.74%。除了基于表6初始校准的EPANET 2.2对流量参数评估不精确外，EPANET 2.2的结果还涉及在呈现负压力值的节点中评估的泄漏回流。后者描述了这些节点中的吸入而非排放流动，使得通过EPANET 2.2中的发射器功能进行泄漏分析不准确。因此，回流问题导致对总泄漏率的错误评估，在N1=1.5的情况下呈现负的、不现实的值，其中节点中负压力的影响更为突出。相比之下，在开发的算法下，这个问题得到了解决。实际上，参考表8中的发射器系数值，可以观察到对于呈现负压力值的节点获得了零系数，以防止发生泄漏回流。
直接使用EPANET 2.2进行泄漏建模需要通过定义相应的发射器系数将泄漏与节点关联起来。然而，管道，而不是节点，是裂缝的位置。与EPANET 2.2不同，开发的算法将泄漏与管道关联起来，末端节点仅用作计算点。因此，除了节点的泄漏出流外，开发算法的主要成果之一是它通过累加末端节点的出流，同时考虑相邻泄漏管道（如果有）的泄漏贡献，提供每个管道的泄漏率作为输出。开发的模型能够提供每个单独管道的泄漏作为输出。较高的单位管道长度泄漏率可能表明存在严重的泄漏情况。实际上，图7的结果可用于确定优先干预行动的管道，这些管道经历了严重的泄漏情况，应立即修复以避免管网故障。
第二项测试：FAVAD方法与固定面积假设对比：为了定义必须使用FAVAD方法以正确模拟管网泄漏的主要情况，在假设纵向裂缝形状的情况下，测试了Fossolo管网，考虑了三种不同情况：在固定泄漏面积假设下（m = 0）：通过在EPANET 2.2中直接分析，设置C和N1 = 0.5；使用开发的算法，考虑HDPE管道（E = 1 GPa）情况下的FAVAD方法；使用开发的算法，考虑FAVAD方法并假设Fossolo管网的管道由铸铁（E = 100 GPa）制成。值得注意的是，为了正确比较固定面积假设下的结果，考虑了两种情况；首先，使用了指代Fossolo管网HDPE管道的默认Hazen-Williams系数（HW = 150），然后将所有管道的Hazen-Williams系数降低到130以模拟铸铁的存在，而不是HDPE管道。报告中获得了泄漏流量并进行比较。
从表中的值和图中突出显示的内容可以观察到，对于具有较高弹性（较低杨氏模量）的材料，泄漏的精确建模需要考虑裂缝面积随压力的变化。实际上，在固定裂缝面积假设下，Fossolo管网中的HDPE管道的总泄漏率被低估了超过30%。然而，对于刚性管道（较高的杨氏模量），其中泄漏面积仅受压力轻微影响，固定裂缝面积假设仍然产生可接受的结果，与FAVAD方法相比，泄漏率的相对误差小于1%。在这种情况下，人们仍然可以使用EPANET 2.2，无需考虑FAVAD公式。此外，图显示在FAVAD下，HDPE管道的发射器系数远高于铸铁管道。实际上，可以看到在FAVAD下，HDPE的发射器系数增加到约1.2 ls?1m?0.5，而其最大值低于0.3 ls?1m?0.5for cast iron。这些观察结果证明，较高弹性管道中的裂缝在压力下更容易扩张， compared to 刚性管道中的裂缝。结果，如果在模型中考虑这种扩张，与裂缝面积成正比的泄漏率将会更高。这种扩张未包含在EPANET的发射器功能中，该功能仅考虑固定面积的泄漏，导致总泄漏率被低估。此外，预计对于具有较高杨氏模量的管道，在特定压力条件下执行的发射器系数校准在压力变化时仍然有效。实际上，如图中铸铁情况所示，在FAVAD下评估的发射器系数与固定面积情况下计算的发射器系数非常相似。
关于表中报告的三种情况的迭代次数，如前所述，较高的值表示与固定面积情况的差异较大。
在本小节中，研究了裂缝形状对泄漏分析的影响。实际上，裂缝形状是一个容易引导在简单固定面积公式和使用FAVAD方法之间做出选择的参数。为此，由于所有先前的测试都是针对纵向裂缝形状进行的，因此在HDPE管道的Fossolo管网默认设置下，进一步分析了管网，考虑了螺旋和周向裂缝形状。这些分析得出的泄漏流量结果，与固定面积假设的情况进行比较，并在报告中报告和图中以图形方式绘制。
表和图表明，即使对于具有较高弹性的材料，如果泄漏裂缝具有周向形状，固定面积假设以及因此直接使用EPANET 2.2会产生可接受的结果。后者证明了周向裂缝面积对压力水头的弱依赖性。因此，这些裂缝获得了最低的泄漏率，因为它主要指的是泄漏固定面积的排放。然而，对于纵向和螺旋裂缝，必须考虑泄漏面积的变化以获得可靠的泄漏评估。实际上，这些观察结果与Cassa和Van Zyl的观察结果一致，他们根据实验结果指出，最高的水头-面积斜率m通常由纵向裂缝产生。此外，参考报告Cassa和Van Zyl获得的面积-压力斜率经验表达式的方程（7），可以清楚地看到，对于周向裂缝，m的数量级显著低于纵向和螺旋裂缝。后者表明周向裂缝在压力下扩张非常轻微，这证明了在固定面积和FAVAD公式下获得的泄漏率的准相似性，如图中所示。
关于表中报告的三种情况的迭代次数，如前所述，较高的值表示与固定面积情况的差异较大。
第三项测试：大规模管网在PDA方法下的应用：为了验证所提出方法的可扩展性并评估其处理更大规模管网的可靠性，通过将算法应用于Modena网络执行了第三个测试案例。与前两个仅使用DDA分析的测试案例不同，本测试案例使用DDA和PDA两种需求模型运行模型。
除了泄漏，必须为管网分析定义用户的实际需求。EPANET 2.2中泄漏建模的结果直接依赖于定义的节点水头-流量关系。为此，可以在EPANET 2.2中设置两种不同的方法。需求驱动分析（DDA）保持节点需求等于给定的基本需求，而不管节点中的压力如何。相反，压力驱动分析（PDA）允许根据管网每个节点中的压力评估实际需求；因此，节点中最初设定的需求并不总是得到满足。在EPANET 2.2中，PDA按照Wagner方程给出的节点水头-流量关系进行设置。
为了测试所提出模型在PDA下的Modena管网，选择了表2中的一组泄漏管道，并在DDA和PDA两种需求模型下分析了管网。分析结果在表中报告，并在图中以图形方式绘制。
表中的结果和图清楚地证明了所开发模型在PDA下通过为具有负压力的节点设置零发射器系数来防止泄漏回流的能力，如节所述。因此，这些节点没有显示泄漏出流。在DDA需求模型下，由于假设的泄漏管道的所有末端节点都经历了负压（在DDA下节点中出现负压更常见，因为它假设需求总是得到满足，无论节点压力如何），
