Grassmann流形上的Lp仿射Sobolev不等式链

《Canadian Mathematical Bulletin》：GRASSMANNIAN FORMS OF LXYZ’S $L^p$ AFFINE SOBOLEV INEQUALITY CHAIN

本文聚焦于分析数学中的Lp仿射Sobolev不等式，研究团队将LXYZ的经典不等式链推广至更一般的Grassmann流形 setting。通过引入Grassmannian p-仿射容量（Cm,p(·)）这一新工具，成功建立了该不等式链的Grassmann流形形式，并证明了其相对于经典结果的强化性。这项工作不仅深化了对仿射等周不等式和Sobolev不等式之间联系的理解，也为凸几何与分析领域的交叉研究提供了新的理论框架。

　　

在数学分析领域，Sobolev不等式是研究函数空间嵌入关系的基石，它定量描述了函数的导数与其本身在某种积分意义下的范数之间的关系。经典的L^pSobolev不等式指出，对于定义在Rⁿ上的函数，其梯度的L^p范数控制着函数本身在更高指数L^np/(n-p)空间中的范数。然而，这个经典不等式及其证明强烈依赖于欧几里得结构，仅在全空间的旋转和平移变换下保持不变。这一局限性促使数学家们寻找更具一般性的不等式形式。

一个重要的突破来自Lutwak, Yang和Zhang的工作，他们引入了所谓的L^p仿射Sobolev不等式。该不等式的关键创新在于用“仿射能量”（affine energy）取代了经典不等式中的梯度范数。仿射能量并非简单地取梯度的模长，而是考虑梯度在所有一维方向上的投影范数的某种精心构造的平均值。令人惊讶的是，这种仿射形式的不等式不仅在更广泛的仿射变换群（包括伸缩、剪切等线性变换）下保持不变，而且严格强于经典的Sobolev不等式。这意味着仿射不等式能够推出经典不等式，但反之则不成立。随后，Xiao等人进一步丰富了这一理论框架，建立了连接仿射Sobolev不等式、凸几何中的仿射等周不等式以及p-仿射容量的完整不等式链，展示了分析学与凸几何之间深刻而优美的联系。

尽管取得了显著进展，但已有研究主要局限于将函数梯度投影到一维子空间上。一个自然且深刻的推广是：如果考虑将梯度投影到更高维的（例如m维的）子空间上，是否能够建立相应的不等式理论？Grassmann流形，即Rⁿ中所有m维子空间构成的集合，为这种推广提供了合适的舞台。将L^p仿射不等式理论推广到Grassmann流形上，不仅能拓宽其应用范围，更能揭示高维投影下分析不等式与几何不变量的内在关联。这正是贺锴和李爱军发表在《Canadian Mathematical Bulletin》上的论文《Grassmannian Forms of LXYZ's L^pAffine Sobolev Inequality Chain》所要解决的核心问题。

为了系统地将LXYZ的不等式链提升至Grassmann流形框架，研究人员主要运用了几个关键的理论工具。首先是Grassmann流形上的积分几何方法，用于处理不同维数子空间上的平均操作。其次是凸几何中的L^pBrunn-Minkowski理论，特别是L^p混合体积（L^pmixed volume）和L^p表面积测度等概念，它们被用来定义和刻画Grassmannian仿射表面积。第三是函数水平集的L^p凸化（L^pconvexification）技术，它将函数的水平集转化为对称凸体，从而能够应用凸几何的工具。最后是变分法和对偶理论，用于研究新引入的Grassmannian p-仿射容量（Grassmannian p-affine capacity）的极值问题。

研究的首要成果是引入了Grassmannian p-仿射容量C_m,p(K)。对于Rⁿ中的紧集K，其定义为所有在K上不小于1的函数f的Grassmannian仿射能量E_m,p(f)的下确界。这个定义巧妙地融合了分析中的容量概念和几何中的仿射结构。当m=1时，它退化为Xiao引入的经典p-仿射容量；当m=n-1时，则可以视作一种“正弦版本”的容量，因为它涉及的是梯度在(n-1)维子空间（即超平面）上的投影。论文详细研究了C_m,p(·)的基本性质，包括其齐次性、旋转和平移不变性、单调性、上半连续性等，为后续的不等式证明奠定了坚实基础。

在建立了基本定义和性质之后，论文的核心工作在于证明一系列强化了的几何和分析不等式。定理1.1（几何不等式强化） 表明，对于Rⁿ中的Lipschitz星体K，有如下不等式链成立：Grassmannian仿射表面积Φ_m,p(K) ≥ ((p-1)/(n-p))^p-1C_m,p(K) ≥ n ω_n^p/nV(K)^(n-p)/n。这个结果可以看作是著名的L^p仿射等周不等式的一种分裂和强化形式。它将体积、容量和仿射表面积这三个重要的几何量联系在一个不等式链中，并且指出当K是球（当p=1时是包含原点的球，当p>1时是中心在原点的球）时，等号成立。该定理的证明关键步骤包括利用测试函数结合co-area公式（余面积公式）将积分转化为对水平集的积分，并运用Minkowski积分不等式和已有的几何不等式。

定理1.2（Grassmannian L^p仿射Sobolev不等式链） 是整个论文的高潮。它指出，对于函数f属于齐次Sobolev空间?^1,p(Rⁿ)，有以下不等式链成立：梯度范数的p次方 ‖?f‖_p^p≥ c_n,p^-1E_m,p(f)^p≥ ∫₀^∞Φ_m,p(?f?_t) dt ≥ ((p-1)/(n-p))^p-1∫₀^∞C_m,p(?f?_t) dt ≥ n ω_n^p/n∫₀^∞V(?f?_t)^(n-p)/ndt ≥ a_n,p^p‖f‖_np/(n-p)^p。这个不等式链具有深远的意义。最左端是经典的Sobolev不等式，最右端是强化了的仿射形式。中间每一个不等式都代表了一种强化，并且都与几何量（体积、容量、仿射表面积）的积分相关联。特别地，当m=1时，该不等式链即退化到LXYZ的原始结果。论文证明了等号成立的条件：当p=1时，极值函数是中心球的特征函数；当1<><>^p/(p-1))^(p-n)/p的形式。这表明推广到Grassmann流形后，不等式仍然保持了尖锐性（sharpness）。

研究的结论部分强调，这项工作成功地将分析中重要的L^p仿射Sobolev不等式理论从一维子空间的投影情形系统性地推广到了任意m维子空间（即Grassmann流形）的情形。所引入的Grassmannian p-仿射容量C_m,p(·)是一个强有力的新工具，它连接了分析中的变分问题和凸几何中的等周不等式。所证明的不等式链不仅具有理论上的美感，更加强化了经典结果，因为它们在最弱的一端（仿射能量端）是仿射不变的，且严格强于依赖于欧几里得结构的经典不等式。这项研究深化了人们对Sobolev不等式、等周不等式、几何容量之间内在联系的理解，为在更一般的变换群下研究函数空间嵌入和几何不等式提供了新的范式。其方法论，特别是将水平集凸化并与高维子空间投影相结合的技术，有望应用于其他分析不等式和几何问题的研究之中，进一步推动凸几何与分析学这两个数学分支的交叉与融合。